BZOJ2440: [中山市选2011]完全平方数(莫比乌斯+容斥原理)
BZOJ2440: [中山市选2011]完全平方数(莫比乌斯+容斥原理)
Description
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些 数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而 这丝毫不影响他对其他数的热爱。 这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一 个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了 小X。小X很开心地收下了。 然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？
Input
包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试 数据的组数。 第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。
Output
含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的 第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。
Sample Input
4 1 13 100 1234567
Sample Output
1 19 163 2030745
HINT
对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9 , T ≤ 50
Source
题目大意：求第n个无完全平方因子的数
如果直接硬求得话非常麻烦，因为我们无法确定枚举的范围，只能边枚举边统计，但这样 一定会T
所以我们转换一下思路，二分一个mid，表示1-mid中有多少个无完全平方因子的数
我们把mid质因数分解为p_1*p_2*\dots p_k
设A_i表示\frac{x}{i*i}，即1-x中含有i*i这个因子的数的个数
那么答案为
mid - (A_{p_1} + A_{p_2} + \cdots + A_{p_k}) + (A_{p_1 \cdot p_2} + A_{p_1 \cdot p_3} + \cdots + A_{p_{k-1} \cdot p_k}) + \cdots + (-1)^{k} A_{\prod_{i=1}^{k} p_i}
然后不难发现每一项的系数即为mu[k]，k表示分解出来的质数的个数
一个数的平方因子最大为sqrt(n)，因此只要枚举到sqrt(n)就好
二分的上界有一个公式，设置为2*x就好
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
inline int read()
{
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
int N;
int vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],tot=0;
void GetMu()
{
vis[1]=1;mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;i*prime[j]<=N&&j<=tot;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}
else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
int check(int val)
{
int limit=sqrt(val),ans=0;
for(int i=1;i<=limit;i++)
ans+=mu[i]*(val/(i*i));
return ans;
}
main()
{
#ifdef WIN32
freopen("a.in","r",stdin);
#else
#endif
N=1e6+10;
GetMu();
int QWQ=read();
while(QWQ--)
{
int x=read();
int l=1,r=x<<1,ans=0;
while(l<=r)
{
int mid=l+r>>1;
if(check(mid)>=x) ans=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
} 腾讯云开发者
