51nod 1244 莫比乌斯函数之和(杜教筛)

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发布于 2018-04-10 16:04:55

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发布于 2018-04-10 16:04:55

文章被收录于专栏：数据结构与算法数据结构与算法

莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：

如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。

如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

给出一个区间[a,b]，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + ...... miu(b)。

例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)

= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Input

输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

Output

输出S(a, b)。

Input示例

3 10

Output示例

-1

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杜教筛裸题

\sum_{i=1}^{n}\mu(i) = 1 - \sum_{d=2}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(i)

#include<cstdio>
#include<map>
#define LL long long 
using namespace std;
const int MAXN=5000030;
int limit=5000000,tot=0,vis[MAXN],prime[MAXN];
LL N,mu[MAXN];

void GetMu()
{
    vis[1]=1;mu[1]=1;
    for(int i=1;i<=limit;i++)
    {
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=limit;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]]=0;break;}
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=limit;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
map<LL,LL>Amu;
LL SolveMu(LL n)
{
    if(n<=limit) return mu[n];
    if(Amu.count(n)) return Amu[n];
    LL tmp=1,nxt;
    for(LL i=2;i<=n;i=nxt+1)
    {
        nxt=n/(n/i);
        tmp-=(nxt-i+1)*SolveMu(n/i);
    }
    return Amu[n]=tmp;
}
int main()
{
    GetMu();
    LL a,b;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    printf("%lld",SolveMu(b)-SolveMu(a-1));
    return 0;
}

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原始发表：2018-03-11 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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