BZOJ4766: 文艺计算姬

Description

"奋战三星期,造台计算机"。小W响应号召,花了三星期造了台文艺计算姬。文艺计算姬比普通计算机有更多的艺

术细胞。普通计算机能计算一个带标号完全图的生成树个数,而文艺计算姬能计算一个带标号完全二分图的生成树

个数。更具体地,给定一个一边点数为n,另一边点数为m,共有n*m条边的带标号完全二分图K_{n,m},计算姬能快

速算出其生成树个数。小W不知道计算姬算的对不对,你能帮助他吗?

Input

仅一行三个整数n,m,p,表示给出的完全二分图K_{n,m}

1 <= n,m,p <= 10^18

Output

仅一行一个整数,表示完全二分图K_{n,m}的生成树个数,答案需要模p。

Sample Input

2 3 7

Sample Output

5

HINT

Source

算法1

结合MatrixTree定理打表或者归纳证明

算法2

根据prufe

r因为prufer序列对应着唯一的一棵树,问题转为计算有多少合法的prufer序列。  “一种生成Prufer序列的方法是迭代删点,直到原图仅剩两个点。”根据prufer序列的性质,最后剩下的两个点一定有一条边,在二分图中有连边的两点一定处于不同集合。在删除时会“移去所有叶子节点(度为1的顶点)中标号最小的顶点和相连的边,并把与它相邻的点的编号加入Prufer序列中”,每删除一个点都需要将与它连边的点加到prufer序列中,而二分图中的边两端的点一定属于不同集合,那么A集合有n-1个点被删除,也就是说B集合中的数需要被加入n-1次,共有$m^n−1$种可能;B集合同理,有m-1个点被删除,也就是说A集合中的数需要被加入m-1次,共有n^m−1种可能。  两种情况相乘得到答案为n^{m−1}∗m^{n−1}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define int long long 
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10,INF=1e4+10;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int fastmul(int a,int p,int mod)
{
    int base=0;
    while(p)
    {
        if(p&1) base=(base+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        p>>=1;
    }
    return base;
}
int fastpow(int a,int p,int mod)
{
    int base=1;
    while(p)
    {
        if(p&1) base=fastmul(base,a,mod)%mod;
        a=fastmul(a,a,mod)%mod;
        p>>=1;
    }
    return base;
}
main()
{
    int N=read(),M=read(),P=read();
    printf("%lld",fastmul(fastpow(N,M-1,P),fastpow(M,N-1,P),P)%P);
     return 0;
}

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