(留坑)
陪域:包含值域的任意集合
数论函数:定义域为正整数,陪域为复数的函数
积性函数:对于函数f(n),若存在任意互质的数a,b,使得a*b=n,并且f(n)=f(a)*f(b),那么函数f(n)被称为积性函数
常见积性函数:
1(i)=1
f(i)=i
\varphi \left( i\right)(欧拉函数)
\mu \left( i\right)(莫比乌斯函数)
拓展:完全积性函数:对于函数f(n),若存在任意数a,b(这里取消掉了互质的限制),使得a*b==n,并且f(n)=f(a)*f(b),那么函数f(n)被称为积性函数
定义函数f,g为数论函数
则他们的狄利克雷卷积可以表示为:f*g,
设h=f*g
h\left( n\right) =\sum _{d|n}f\left( n\right) g\left( \dfrac {n}{d}\right)
显然,h也是积性函数
证明:
设n=a*b
h(n)=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1d_2)g(\dfrac {a}{d_1}\dfrac {b}{d_2})
=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1)f(d_2)g(\dfrac {a}{d_1})g(\dfrac {b}{d_2})
=\sum_{d_1|a}f(d_1)g(\dfrac {a}{d_1})\sum_{d_2|b}f(d_2)g(\dfrac {b}{d_2})
=h(a)*h(b)
运算法则(懒得敲了,,,)