树链剖分详解
前言
- 树链剖分是什么？
树链剖分，说白了就是一种让你代码不得不强行增加1k的数据结构-dms
个人理解：+1:joy:
- 有什么用？
证明出题人非常毒瘤
可以非常友(bao)好(li)的解决一些树上问题:grimacing:
（友情提示：学树链剖分之前请先掌握线段树）
核心思想
树链剖分的思想比较神奇
它的思想是：把一棵树拆成若干个不相交的链，然后用一些数据结构去维护这些链
那么问题来了
- 如何把树拆成链？
首先明确一些定义
重儿子：该节点的子树中,节点个数最多的子树的根节点(也就是和该节点相连的点)，即为该节点的重儿子
重边：连接该节点与它的重儿子的边
重链：由一系列重边相连得到的链
轻链：由一系列非重边相连得到的链
这样就不难得到拆树的方法
对于每一个节点，找出它的重儿子，那么这棵树就自然而然的被拆成了许多重链与许多轻链
- 如何对这些链进行维护？
首先，要对这些链进行维护，就要确保每个链上的节点都是连续的，
因此我们需要对整棵树进行重新编号，然后利用dfs序的思想，用线段树或树状数组等进行维护（具体用什么需要看题目要求，因为线段树的功能比树状数组强大，所以在这里我就不提供树状数组的写法了）
注意在进行重新编号的时候先访问重链
这样可以保证重链内的节点编号连续
上面说的太抽象了，结合一张图来理解一下
对于一棵最基本的树
给他标记重儿子，
蓝色为重儿子，红色为重边
然后对树进行重新编号
橙色表示的是该节点重新编号后的序号
不难看出重链内的节点编号是连续的
然后就可以在线段树上搞事情啦
像什么区间加区间求和什么的
另外有一个性质：以i为根的子树的树在线段树上的编号为[i,i+子树节点数-1]
接下来结合一道例题，加深一下对于代码的理解
代码
树链剖分的裸题
首先来一坨定义
int deep[MAXN];//节点的深度
int fa[MAXN];//节点的父亲
int son[MAXN];//节点的重儿子
int tot[MAXN];//节点子树的大小 第一步
按照我们上面说的，我们首先要对整棵树dfs一遍，找出每个节点的重儿子
顺便处理出每个节点的深度，以及他们的父亲节点
int dfs1(int now,int f,int dep)
{
deep[now]=dep;
fa[now]=f;
tot[now]=1;
int maxson=-1;
for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
if(edge[i].v==f) continue;
tot[now]+=dfs1(edge[i].v,now,dep+1);
if(tot[edge[i].v]>maxson) maxson=tot[edge[i].v],son[now]=edge[i].v;
}
return tot[now];
}第二步
然后我们需要对整棵树进行重新编号
我把一开始的每个节点的权值存在了$b$数组内
void dfs2(int now,int topf)
{
idx[now]=++cnt;
a[cnt]=b[now];
top[now]=topf;
if(!son[now]) return ;
dfs2(son[now],topf);
for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)
if(!idx[edge[i].v])
dfs2(edge[i].v,edge[i].v);
}idx表示重新编号后该节点的编号是多少
另外，这里引入了一个top数组，
top[i]表示i号节点所在重链的头节点(最顶上的节点)
至于这个数组有啥用，后面再说
第三步
我们需要根据重新编完号的树，把这棵树的上每个点映射到线段树上，
struct Tree
{
int l,r,w,siz,f;
}T[MAXN];void Build(int k,int ll,int rr)
{
T[k].l=ll;T[k].r=rr;T[k].siz=rr-ll+1;
if(ll==rr)
{
T[k].w=a[ll];
return ;
}
int mid=(ll+rr)>>1;
Build(ls,ll,mid);
Build(rs,mid+1,rr);
update(k);
}另外线段树的基本操作，
这里就不详细解释了
直接放代码
void update(int k)//更新
{
T[k].w=(T[ls].w+T[rs].w+MOD)%MOD;
}void IntervalAdd(int k,int ll,int rr,int val)//区间加
{
if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
{
T[k].w+=T[k].siz*val;
T[k].f+=val;
return ;
}
pushdown(k);
int mid=(T[k].l+T[k].r)>>1;
if(ll<=mid) IntervalAdd(ls,ll,rr,val);
if(rr>mid) IntervalAdd(rs,ll,rr,val);
update(k);
}int IntervalSum(int k,int ll,int rr)//区间求和
{
int ans=0;
if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
return T[k].w;
pushdown(k);
int mid=(T[k].l+T[k].r)>>1;
if(ll<=mid) ans=(ans+IntervalSum(ls,ll,rr))%MOD;
if(rr>mid) ans=(ans+IntervalSum(rs,ll,rr))%MOD;
return ans;
}void pushdown(int k)//下传标记
{
if(!T[k].f) return ;
T[ls].w=(T[ls].w+T[ls].siz*T[k].f)%MOD;
T[rs].w=(T[rs].w+T[rs].siz*T[k].f)%MOD;
T[ls].f=(T[ls].f+T[k].f)%MOD;
T[rs].f=(T[rs].f+T[k].f)%MOD;
T[k].f=0;
}第四步
我们考虑如何实现对于树上的操作
树链剖分的思想是:对于两个不在同一重链内的节点,让他们不断地跳,使得他们处于同一重链上
那么如何"跳”呢？
还记得我们在第二次dfs中记录的top数组么？
有一个显然的结论：x到top[x]中的节点在线段树上是连续的，
结合deep数组
假设两个节点为x,y
我们每次让deep[top[x]]与deep[top[y]]中大的(在下面的)往上跳(有点类似于树上倍增)
让x节点直接跳到top[x],然后在线段树上更新
最后两个节点一定是处于同一条重链的，前面我们提到过重链上的节点都是连续的，直接在线段树上进行一次查询就好
void TreeSum(int x,int y)//x与y路径上的和
{
int ans=0;
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
ans=(ans+IntervalSum(1,idx[ top[x] ],idx[x]))%MOD;
x=fa[ top[x] ];
}
if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
ans=(ans+IntervalSum(1,idx[x],idx[y]))%MOD;
printf("%d\n",ans);
}void TreeAdd(int x,int y,int val)//对于x,y路径上的点加val的权值
{
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
IntervalAdd(1,idx[ top[x] ],idx[x],val);
x=fa[ top[x] ];
}
if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
IntervalAdd(1,idx[x],idx[y],val);
}在树上查询的这一步可能有些抽象，我们结合一个例子来理解一下
还是上面那张图，假设我们要查询3.6这两个节点的之间的点权合，为了方便理解我们假设每个点的点权都是$1$
刚开始时
top[3]=2,top[6]=1top[3]=2,top[6]=1
deep[top[3]]=2,deep[top[6]]=1
我们会让3向上跳,跳到top[3]的爸爸,也就是1号节点
这是1号节点和6号节点已经在同一条重链内,所以直接对线段树进行一次查询即可
对于子树的操作
这个就更简单了
因为一棵树的子树在线段树上是连续的
所以修改的时候直接这样
IntervalAdd(1,idx[x],idx[x]+tot[x]-1,z%MOD);时间复杂度
(刚开始忘记写了,这一块是后来补上的)
性质1
如果边\left( u,v\right),为轻边,那么Size\left( v\right) \leq Size\left( u\right) /2。
证明：显然:joy:，否则该边会成为重边
性质2
树中任意两个节点之间的路径中轻边的条数不会超过\log _{2}n,重路径的数目不会超过\log _{2}n
证明：不会:stuck_out_tongue_winking_eye:
有了上面两条性质，我们就可以来分析时间复杂度了
由于重路径的数量的上界为\log _{2}n，
线段树中查询/修改的复杂度为\log _{2}n
那么总的复杂度就是\left( \log _{2}n\right) ^{2}
例题
洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
树剖可以求LCA，没想到吧
http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8097366.html
洛谷P2590 [ZJOI2008]树的统计
http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7157156.html
这份代码是以前写的，可能比较丑，下面两份是刚刚写的
洛谷P3178 [HAOI2015]树上操作
洛谷P3038 [USACO11DEC]牧草种植Grass Planting
有点意思
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