【故事背景】 还记得去年JYY所研究的强连通分量的问题吗?去年的题目里,JYY研究了对于有向图的“加边”问题。对于图论有着强烈兴趣的JYY,今年又琢磨起了“删边”的问题。 【问题描述】 对于一个N个点(每个点从1到N编号),M条边的有向图,JYY发现,如果从图中删去一些边,那么原图的连通性会发生改变;而也有一些边,删去之后图的连通性并不会发生改变。 JYY想知道,如果想要使得原图任意两点的连通性保持不变,我们最多能删掉多少条边呢? 为了简化一下大家的工作量,这次JYY保证他给定的有向图一定是一个有向无环图(JYY:大家经过去年的问题,都知道对于给任意有向图的问题,最后都能转化为有向无环图上的问题,所以今年JYY就干脆简化一下大家的工作)。
输入一行包含两个正整数N和M。 接下来M行,每行包含两个1到N之间的正整数x_i和y_i,表示图中存在一条从x_i到y_i的有向边。 输入数据保证,任意两点间只会有至多一条边存在。 N<=30,000,M<=100,000
输出一行包含一个整数,表示JYY最多可以删掉的边数。
5 6 1 2 2 3 3 5 4 5 1 5 1 3
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神题QWQ...
首先,一条边(u,v)可以删除的条件为:删除这条边后,仍然能从u走到v
这样的话我们可以贪心处理,对于两个点(u,v),我们保留其最长的路径,其余的全部删去
具体实现的时候我们可以先来一边拓扑排序,同时记录下每个点出现的时间,以及该时间入队的点
一个点连出去最长的边一定是包含先访问的点(又是一个贪心)
然而正序处理的话我们并不知道一个点连到的点的联通性
因此我们倒序处理,
联通性用bitset维护
网上的代码都比较神,看了老半天才懂QWQ。。
时间复杂度O(\frac{n*m}{32})
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<23,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<23],*p1=buf,*p2=buf;
using namespace std;
const int MAXN=30001;
inline int read()
{
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
struct node
{
int u,v,nxt;
}edge[MAXN*10];
int head[MAXN],num=1;
inline void AddEdge(int x,int y)
{
edge[num].u=x;
edge[num].v=y;
edge[num].nxt=head[x];
head[x]=num++;
}
int VisitTime[MAXN];//i是第几个入队的
int InputTime[MAXN];//第i个入队的是谁
int inder[MAXN];
bitset<MAXN>can[MAXN];//联通性
int N,M;
int to[MAXN];
int comp(const int &a,const int &b)
{
return VisitTime[a]<VisitTime[b];
}
void Topsort()
{
queue<int>q;
for(int i=1;i<=N;i++)
if(inder[i]==0) q.push(i);
int tot=0;
while(q.size()!=0)
{
int p=q.front();q.pop();
InputTime[++tot]=p;
VisitTime[p]=tot;
for(int i=head[p];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
inder[edge[i].v]--;
if(inder[edge[i].v]==0)
q.push(edge[i].v);
}
}
int ans=0;
for(int i=N;i>=1;i--)
{
int x=InputTime[i],tot=0;
can[x][x]=1;
for(int j=head[x];j!=-1;j=edge[j].nxt)
to[++tot]=edge[j].v;
sort(to+1,to+tot+1,comp);
for(int j=1;j<=tot;j++)
{
if(can[x][to[j]]) ans++;
else can[x]|=can[to[j]];
}
}
printf("%d",ans);
}
int main()
{
#ifdef WIN32
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
memset(head,-1,sizeof(head));
N=read(),M=read();
for(int i=1;i<=M;i++)
{
int x=read(),y=read();
AddEdge(x,y);
inder[y]++;
}
Topsort();
return 0;
}