【优质题解】题号1174：【计算直线的交点数】 （C语言描述）

题号1174，原题见下图：

解题思路:

将n条直线排成一个序列，直线2和直线1最多只有一个交点，直线3和直线1，2最多有两个交点,……，直线n 和其他n-1条直线最多有n-1个交点。由此得出n条直线互不平行且无三线共点的最多交点数：

Max = 1 +2 +……+（n-1）=n(n-1)/2;

这些直线有多少种不同的交点数

当n = 1， 2， 3时情况很容易分析。当n = 4 时，我们可以按如下分类方法，逐步计算。

1. 四条直线全部平行，无交点。

2. 其中三条平行，交点数: 3*(n-3)+0 = 3；

3. 其中两条平行，而另外两条直线的交点既可能平行也可能相交，因此交点数据分别为：

2*(n-2) + 0 = 4

2*(n-2) + 1 = 5

4. 四条直线互不平行， 交点数为1*(n-1) + {3条直线的相交情况}：

1*(n-1)+0=3 1*(n-1)+2=5 1*(n-1)+3=6

即n=4时，有0, 3, 4, 5, 6个不同的交点数.所以有5种可能。

从上述n=4的分析过程中，发现：

m条直线的交点数=r条平行线与m-r条直线交叉的交点数+ m-r条直线本身的交点数 =r*(m-r) + m-r条直线之间的交点数。(1<=r<=m)

{m条直线的交点数集合} = U { r条平行线与m-r条直线交叉的交点数 + {m-r条直线本身的交点数集合} } = U { r*(m-r) + {m-r条直线之间的交点数集合} }。(1<=r<=m)

注意：数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。

如何编写程序？

程序框架如下：

//Ui表示i条直线的交点数集合

初始化U0= {0}, U1= {0}

For n = 2 to N

Un = {} //初始化Un为空集

For i = 1 to n //i表示平行线个数

Un =Un U { i*(n-i) + Un-i} //并运算

注意：数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。

用C++代码实现，我们可以用set集合，最简单的方法是用数组表示交点数集合。

二维数组 p[i][j] 表示i条直线，j个交点数是否存在。存在值为1，不存在值为0.

参考代码:

#include <stdio.h>

int main()

{

int p[21][200], n,i,j; //n的上限是20,交点数的上限为200，故定义p[21][200]，交点数为1+2+3+…(n-1)

memset(p, 0, sizeof(p));

for(i=0; i<21; i++)

p[i][0]=1; //不管多少直线都存在0个交点的情况，即所有直线平行

for(n=2; n<21; n++) //动态规划p[i][j]表示i条直线，交点数为j.当p[i][j]=1,则表示i条直线中存在交点数为j的情况

for(i=1; i < n; i++) //n条直线平行的情况已经考虑了，无需重复

for(j=0; j<200; j++)

{

if(p[n-i][j]==1)//他用i行表示多少条线，用数组元素为1表示该元素的j为可能存在的交点个数。

然后从数组2行开始往后规划，规划的方法是：i条线平行。n-i条线得出行数存在的交点情况加上i(n-i)

然后在相应得到交点数赋值为1

p[n][j+i*(n-i)]=1;

}

while (scanf("%d", &n) != EOF)

{

for (j=0; j <= n*(n-1)/2; j++) //n*(n-1)/2能形成的最大交点数

{

if (p[n][j])

printf("%d ",j);

}

printf("\n");

}

return 0;

}