科学瞎想系列之五十 场是个神马鬼

无论你信与不信，它无时无刻不存在着;

无论你用与不用，它无时无刻不作用着;

无论你懂与不懂，它无时无刻不影响着。

这个东东就是"场"。场无处不在，宝宝们就每天生活在各种各样的场里。

所谓场就是物理量在空间的分布。用正儿八经的数学定义就是: 如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的场，形成场的物理量称为场量。如果场量是数量（标量），就称这个场为数量场（标量场）; 若是矢量，则称为矢量场。例如温度场、密度场、浓度场、电位场等为标量场; 力场、速度场等为矢量场。如果场量只随空间位置变化，不随时间变化，这样的场称为稳恒场（或称定常场）；如果场量不仅随空间位置变化，而且还随时间变化，这样的场称为时变场（或称不定常场）。

许多理工科的宝宝们每天都要和各种各样的"场"打交道，他们每天眼睛盯着屏幕，手里握着鼠标，整出些花里胡哨的云图，进行着所谓仿真。然而许多宝宝只知道软件各种按钮的操作，只是一个计算机操作工，对各种场的特性、数学模型、数值运算却一无所知，知其然不知其所以然，以至于对所建模型是否科学准确、算出的结果是否合理正确、如果不合理又该如何调整设计等等缺乏基本的判断，这就失去了仿真的意义，甚至仿真变成了"仿假"，误导了设计。要想成为一个仿真高手，必须从各种场的基本性质出发，对各种场的分布规律、数学模型、边界条件、场源与场的分布关系、介质对场的影响等专业知识了如指掌，你才是一个真正的仿真高手，业界大牛！今天老师就给宝宝们说一说场的那些事。

先说点基本概念:

1 标量场的等值面。标量场的场量是数量，只有大小没有方向。分析标量场的分布规律时常常会用到等值面或等值线的概念，所谓等值面或等值线顾名思义就是在场域内那些场量相等的各点的集合组成的曲面或曲线。有了等值面或等值线我们就可以直观地观察到场的分布情况，分析出场源的位置分布等，例如在温度场中画出等温面或等温线，我们就可以看出温度在场域中的分布，还可以分析出热源和冷源的分布; 再比如分析地形时，如果画出等高线，我们就可以看出哪里高哪里低，哪儿有高山哪儿低谷，还可以分析出哪儿陡峭哪儿平坦。

2 标量场的梯度。用正儿八经的数学定义:场内某点在垂直于过该点等值面方向上场量的方向导数（或叫变化率）叫标量场在该点的梯度。这么说可能把宝宝们都绕晕了，通俗说就是场域内任意一点垂直于过该点的等值面，单位长度上场量的变化叫做该点的梯度 ，记做grad u 。梯度是个矢量，它的方向就是垂直于等值面指向场量增大的方向。有了梯度的概念，一个标量场，其各点也会对应一个梯度矢量，各点对应的梯度就又形成了一个对应该标量场的矢量场-----梯度场。由梯度定义可知，等值面（线）密的地方梯度就大，稀疏的地方梯度就小。梯度在高度场中比较好理解，梯度大的地方就陡峭，梯度小就说明平坦。

3 矢量场的场线。矢量场最常见的描述方式是场线（也有叫矢量线的），为了防止宝宝们继续晕菜，老师就不说场线的正儿八经的数学定义了，宝宝们所熟知的电力线、磁力线都属于场线。场线在某点附近的疏密代表该点场量的大小，场线的切线方向代表场量的方向。一个矢量场只要画出了场线我们就可以大概看出这个矢量场的强弱分布和各处矢量走向。

4 矢量场的通量和散度。数学上定义: 场中某截面上各点的场量与该点附近有向曲面微元的点乘积在该截面上的积分叫做通过该截面的通量。记得在中学物理里老师说过，通过某截面的磁力线条数叫做磁通量，这种说法虽然严格上来讲不太严谨，但比较容易理解通量的概念。知道了通量的概念，再进一步定义场中包围某点的闭合曲面的通量与该曲面所包围的体积之比在体积趋于0时的极限叫做矢量场在该点的散度，记做divA。散度是一个标量。如果场域中某处的散度不为0就说明此处有场源，如果散度为正就说明此处为正场源，散度为负，就说明此处有负场源。散度的绝对值越大，就说明场源越强。比如在电场中，有正散度的地方说明有正电荷，散度越大正电荷的电量越大。

5 矢量场的环量和旋度。我们经常看到水流中有漩涡，空气流场中有龙卷风，这就说明有些矢量场的场量是涡旋分布的，数学上定义场量沿有向闭合曲线的点乘积的环线积分叫做矢量场在该闭合曲线上的环量。环量对闭合曲线所包围面积上的变化率叫做环量密度，矢量场在某点的最大环量密度叫做矢量场在该点的旋度，旋度是一个矢量，记做rotA，其方向与有向闭合曲线符合右手螺旋法则。我就知道一提这些数学的东东宝宝们就大部分晕菜，这也是为什么大部分宝宝在大学时电磁场这门课都认为是天书的原因。数学虽然枯燥但很严密，真正理解了又很美妙！为了便于理解环量、旋度等概念，可以以磁场为例，磁场强度H沿某闭合曲线的环积分就是环量，他等于该闭合曲线所包围的电流，这个环量与闭合曲线所包围的面积之比即为环量密度，在磁场中它其实就是电流密度，而最大的环量密度就是磁场在此处的旋度，这也是麦克斯韦方程组中的一个方程。

了解了以上关于场的基本概念，就可以把看不见摸不着的场描述成直观的曲线、图形、云图来分析。

接下来说说各种场的分布规律。按照场域、场源及场分布的不同，有三种典型的矢量场: 有势场、管形场和调和场。旋度为0的场（无旋场）为有势场。有势场必是某一标量场的梯度场，另外有势场具有场量沿有向曲线在两点之间的线积分与积分路径无关等特性。实际中静电场、重力场等都属于有势场，它们的势就是电势、海拔高度等; 散度恒为0的场（无散场）为管形场，管形场必是某一矢量场的旋度场，磁场、闭合回路中的流场等就属于管形场; 散度和旋度都为0的场叫做调和场，调和场中必存在一个满足拉普拉斯方程的调和函数。这三种典型的矢量场基本覆盖了我们所遇到的绝大多数矢量场，因此我们说这个世界的数学模型基本是相同的，无论多么纷繁复杂的世界都可以抽象成相似的数学模型来描述。

当然各种物理场除了具有上述普遍性之外也存在着各自的特殊性，对于搞电机专业的宝宝来说，按场量性质的不同，最常见的物理场有四类，即结构场、流场、温度场、电磁场。以应变、应力等物理量为场量的场称为结构场; 以流速、流量、压力等物理量为场量的场称为流场; 以温度为场量的称为温度场; 以电场强度、电位移矢量、磁场强度、磁感应强度等物理量为场量的称为电磁场。

要研究场，必须首先建立其数学模型。虽然对各种场的研究划归到不同的学科，但是所有学科基本上采取了相似的建模方法：微元分析法。该法从研究对象中选取一个微元（通常是无限小的立方体）为对象，列出微元6个面上和体内的物理量，根据能量守恒定律、质量守恒定律、动量定理等学科内的特定规律列方程，得到一个或一个以上的偏微分方程。由于时间和空间是场的存在形式，因此该方程一般是以时间和空间为自变量，以所研究场变量为因变量的偏微分方程。一般而言，在固体力学领域，得到的是平衡方程（或动力方程）、物理方程和几何方程；在流体力学领域，是质量守恒方程、动量方程和能量方程；在传热学领域，是导热方程；在电磁场领域，是麦克斯韦方程组。这些事主要是那些编仿真软件的宝宝们干的，这些编软件的宝宝们不仅要有扎实的数学功底，还要有扎实的专业功底，通常这些宝宝们都比较牛X！对于使用这些软件搞仿真的宝宝们，可不必要求那么牛X，他们更重要的是根据所要仿真的场，利用有关的专业知识建立几何模型，把场源分布正确（即施加合理的激励），设置好场域中的介质参数以及合适的边界条件，对场域进行合理的剖分。而要想把这些做好，同样需要掌握相应的专业知识，除此之外了解和掌握一些场论的数学知识也是非常必要的。

需要特别提醒宝宝们注意的是，对于解算一些时变场（特别是高频时变场和瞬变场）时，一定要注意计算步长的问题，要想得到精确的瞬时值结果，计算步长需要远小于时变周期或瞬变时间常数，这就造成计算量极大，需要很高配置的计算机，为了解决此问题，对于高频时变场的分析常需要把数学模型的微分方程进行积分变换，把时域微分方程变成频域代数方程，把场内分布的实参数复数化。这其实就是所谓的模态仿真。这种方法虽然大大减少了计算量，但它只能得到频域方面的结果，难以得到准确的时域响应结果。好在对于高频时变场大多只需要了解场量对场源激励幅值方面的响应及其频率特性，对时域响应通常意义不大。

今天说了这么多有关场的破事，我估计是宝宝们最晕菜的一期瞎想，本期的题目: 场是个神马鬼，哦！场确实是个鬼！