传奇数学家斯梅尔

源 / 《数学文化》

当代富有色彩的著名数学家,首推长期工作在美国加州伯克利大学的史蒂芬 • 斯梅尔(Stephen Smale)教授。国内一般学术刊物介绍科学家时,谨守学术成就,避忌色彩。然而,就斯梅尔而言,他的学术成就和他的生活色彩,实互为补充,相辅相成。笔者喜欢读斯梅尔的文章,并与他有过互访的交往,愿借《数学文化》之一角,将所知所闻介绍给读者。本文从他在数学方面的工作谈起,最后补充若干生平故事。

斯梅尔教授属于当今世界上最杰出的数学科学家之列,在微分拓扑、动力系统、混沌理论、大范围变分学、计算复杂性、数理经济学和统计学习理论等众多领域,他都做出了重要贡献。他早年在拓扑学和动力系统方面的工作非常突出。他成功解决了微分拓扑学中的高维庞加莱(Poincaré)猜测,并创立了现代微分动力系统理论。

既然主要是介绍人物,有些含义深刻的专门概念也就直观地或通俗地叙述。好在这些叙述,即使在学术圈子内,亦属标准。至于不同层次的读者会有不同层次的理解,则正是这种叙述的精妙所在。愿意对人物或概念有更多了解的读者,可以先看一些数学史类的出版物。

01 庞氏猜测一狂生

青年时代的斯梅尔,因证明高维庞加莱猜测,在1966 年莫斯科世界数学家大会上获得菲尔兹奖。当然,他的这一伟大成果,决不是一蹴而就的。

所谓 n 维庞加莱猜测,是这样一个命题 :与 n 维球具有相同伦型的紧致 n 维流形,必同胚于 n 维球。

庞加莱在 1900 年曾宣布 :他已就一般的 n 维情形证明了上述命题。4 年以后,他又发表论文,用一个反例说明他当初用以证明上述命题的方法不对。一般认为,庞加莱和希尔伯特(David Hilbert)是对 20 世纪的数学发展具有最大影响的两位数学家。

在随后的几十年里,许多数学家曾声称证明了 3 维的庞加莱猜测,但是后来都被发现不正确。

1968 年时的斯梅尔

斯梅尔 1930 年出生在美国密歇根州弗林特市远郊的一个小地方。在他求学的 20 世纪 50 年代,正逢拓扑学的黄金时代,数学的前沿发展几乎被拓扑学所垄断。当时,美国对数学研究的资助,有一半给了拓扑学家,这在今天已难以想象。的确,拓扑学的作用是革命性的,它与代数结合发展了 K 理论和代数几何,与分析结合产生了动力系统理论和偏微分方程的整体性讨论。1954 年,托姆(Rene Thom)的配边理论发表 ;1956 年,米尔诺(John Milnor)证明了存在 7 维怪球。

斯梅尔头一次听说庞加莱猜测是在 1955 年,那时他正在密歇根大学写他的博士学位论文。几天以后,他觉得自己已能证明 3 维的庞加莱猜测了,于是他走进萨梅尔逊(Hans Samelson)教授的办公室,十分激动地向教授讲述他的想法 :首先对 3 维流形进行单纯剖分,然后取走一个 3 维单形,只要能够证明剩余的流形同胚于一个 3 维单形,就大功告成。因为随后再逐个取走 3 维单形的做法并不改变同胚关系,所以继续这样做下去,由于单形数目有限,最后当然只剩下一个 3 维单形,于是证明完成。萨梅尔逊教授听了这个年轻学生的讲述,并没有说什么话。斯梅尔后来幽默地回忆说,离开萨梅尔逊教授的办公室后,他才猛醒自己的证明中根本没有用到庞加莱猜测中关于 3 维流形的任何假设!

将近 5 年以后在巴西的里约热内卢,斯梅尔曾认为自己找到了 3 维庞加莱猜测的一个反例,并写成了论文。如果这个反例是对的,就会是一个与证明高维庞加莱猜测相当的重大成果。但是,经再次检查以后,也是他自己发现这个反例不成立。

02 精英环境好磨砺

斯梅尔 1957 年在密歇根大学取得博士学位,导师是波特(Raoul Bott)教授。当年夏天,他到墨西哥城参加了一次重要的代数拓扑学学术会议。这是他首次参加学术会议。在那里,他不但见到了当时的大部分拓扑学名家,还结识了芝加哥大学的两名研究生赫希(Moe Hirsch)和利马(Elon Lima)。秋天,他开始作为一名讲师,在芝加哥大学的一个学院里给人文科学的学生讲授集合论。当然,他十分关心数学系的学术活动,从不放过托姆关于横截(Transversa1ity)理论的每一个讲座。他自己正在进行的研究课题,则是证明球可以从里面翻出来。

那个时候,由于陈省身、韦伊(Andre Weil)等许多著名学者都在芝加哥大学,那里是数学研究的一个中心。青年学子赫希、利马、拉索夫(Dick Lashof)、帕莱士(Dick Palais)和斯滕伯格(Shlomo Sternberg)也开始显示活力。

1958 年秋,斯梅尔藉国家科学基金会一份两年的博士后资助,到了普林斯顿高等研究院。拓扑学在普林斯顿非常活跃。在那里,斯梅尔和赫希合用一个办公室,一起去听米尔诺关于特征类的讲座,参加波雷尔(Armand Borel)关于变换群的讨论班。他还经常向蒙哥马利(Deane Montgomery)、莫尔斯(Marston Morse)、惠特尼(Hassler Whitney)等大师讨教。福克斯(Ralph Fox)是围棋的高手,斯梅尔却常去要求让目对弈,并且与福克斯的研究生纽沃思(Loe Neuwirth)和斯塔林斯(John Stallings)混得很熟,他们后来也成了有影响的数学家。

1958 年夏天,通过利马的介绍,斯梅尔结识了佩肖托(Mauricio Peixoto),这激起斯梅尔对结构稳定性的兴趣,这种兴趣一直在发展,导致后来他应佩肖托的邀请到巴西的里约热内卢纯粹数学和应用数学研究所度过那两年资助的最后 6 个月。

03 巴西海滨终结晶

1960 年元旦刚过,斯梅尔携夫人克拉拉及两个孩子来到巴西的里约热内卢。当时,一位空军上校刚因策划政变失败而逃离巴西到阿根廷避难,斯梅尔一家就租用了上校原住的公寓,并且留用了上校的两个女仆。这是一套有十一个房间的豪华住所,周围景色迷人。要知道,那时候美元在巴西十分坚挺。

从公寓出发走几分钟,就是巴西著名的柯帕尔巴那海滩。每天上午,斯梅尔都带着纸和笔到洁白的海滩上去。这样既可以游泳,又可以考虑数学问题。下午,他通常到研究所去,与佩肖托讨论微分方程,与利马讨论拓扑学问题。取得博士学位以来,斯梅尔的数学兴趣一直集中在动力系统理论上。著名的斯梅尔马蹄变换,就是这个时候的成果。就在继续进行梯度动力系统研究的过程中,斯梅尔注意到动力系统揭示了将流形分解为胞腔的崭新思想,运用这种分解来攻克庞加莱猜测的设想便油然萌生,从此他就兴奋在这个问题上。

很快,斯梅尔感到当维数大于 4 时,这个想法是行得通的。吸取以往的教训,这次他没有急于写出论文。他非常小心地把自己的证明想了又想,后来又和利马一步一步进行仔细的论证。当获得足够的信心以后,他写信给仍在普林斯顿的赫希,并且向当代拓扑学大师艾伦伯格(Sammy Eilenberg)通报了研究成果。

1960 年 6 月,斯梅尔按原定计划离开里约热内卢三个星期,到欧洲参加两个学术会议。他向会议提交了这个研究成果。确实,有影响的学术会议,是使重要的成果为学界认识的最好机会。

斯梅尔的思想可以形象地叙述如下 :

考虑赋以黎曼度量的 n 维流形 M 和 M 上的一个函数f : M → R。按照微分方程

dx/dt= - grad f

在 M 上确定一个动力系统。如果 p ∈ M 是 f 的非退化临界点,那么在该动力系统当 t →∞时趋于 p 的所有点的集合 Ws (p) 是一个嵌入胞腔,当 t → - ∞时趋于 p 的所有点的集合 Wu(p) 也是一个嵌入胞腔。在 n = 2 的情形,我们可以设想像一条倒过来的裤子那样的一个曲面(流形),如果曲面上涂了蜜糖,那么蜜糖因为重力的流动,就可以代表曲面上的一个动力系统。这时候,设 p 是那条倒过来的裤子从上面看下去的鞍点,而 A 是左裤管上的一个点,经过这个点的蜜糖流向 p,B 是右裤管上的一个点,经过这个点的蜜糖也流向 p,那么按照蜜糖流动的 ApB 弧,就是 Ws (p),类似理解的 CpD 弧,其中 C 和 D 都在倒过来的这条裤子的裤腰上,就是 Wu (p)。在 n = 2 的情形,Ws (p) 和 W u (p) 都是一维胞腔。

对于 f 的每个非退化临界点 p, Ws (p) 称为动力系统- grad f 的稳定流形,而 Wu (p) 称为动力系统 -grad f 的非稳定流形。只要 p 是 f 的非退化临界点,那么 Ws (p) 和Wu (p) 就横截相交,从而排除了相切的可能。

由于横截相交,临界点的稳定流形给出 M 的一个分解,并且每个胞腔的边界都是若干低维胞腔之并。在这样分解以后,再利用添加环柄的消去方法,在维数 n ≥ 5 和 M 具有 n 维球的伦型的假设之下,最终就得到一个 n 维球。这就证明了 n ≥ 5 时庞加莱猜测成立。

斯梅尔 2010 年摄于北京大学

04 苏京盛会受菲奖

1966 年 5 月,斯梅尔从他任职的美国加州伯克利大学到达巴黎,邀请者是在 1950 年第十一届世界数学家大会上获菲尔兹奖的施瓦兹(Laurent Schwartz)教授,以广义函数论的研究著称。随后,斯梅尔与突变理论创始人、在 1958 年第十三届世界数学家大会上获菲尔兹奖的托姆一起,开车去日内瓦参加一个学术会议。克拉拉和两个孩子也将在日内瓦与他会合。

斯梅尔当然知道庞加莱猜测的分量,所以,当 1962年在斯德哥尔摩举行的第十四届世界数学家大会没有授予他菲尔兹奖时,他曾经非常失望。这使他怀疑菲尔兹奖的价值,认为菲尔兹奖委员会的评选方针有问题。由于上次失望,1966 年他已不那么关注自已是否会获奖了。然而,当托姆在开车前往日内瓦的途中透露斯梅尔将在 8 月于莫斯科召开的第十五届大会上获得菲尔兹奖时,斯梅尔感到有点儿意外,因而十分激动。托姆是菲尔兹奖评奖委员会的成员。几天以后,拓扑学家德拉姆(Georges de Rham)把这个消息正式通知了斯梅尔。

在日内瓦的日子很有意思。一方面有相当丰富的学术活动,看到许多老朋友;另一方面有阿尔卑斯山的胜景,使斯梅尔一家目不暇接。不管是否获奖,斯梅尔原已计划去莫斯科,因为先期他已被邀请作一小时的大会报告。大会前的时光,他和克拉拉携子女在欧洲度假。他们开车从日内瓦经南斯拉夫到希腊,一路上常常支帐篷露宿。希腊有那么多海滩和名胜古迹。他们商定,当斯梅尔去莫斯科时,家庭其他成员就留在希腊。

与家庭分手以后,在雅典机场,斯梅尔回忆着在希腊度过的美好时光,又想到明天就要在数以千计的数学家面前荣获数学界的最高奖,心情难免有点激动。

当一个海关官员示意斯梅尔停下来时,他还是无所谓的,因为他知道护照和签证都没有问题。后来,他才慢慢明白过来,当他们全家开车进入希腊时,海关在他的护照上做了带车入境的记录,所以现在希腊海关不许他不带车子离境。克拉拉已经开着车子跑远了,而海关官员又不肯通融,斯梅尔只好眼睁睁地看着原定航班的飞机起飞。要知道,那是每天只有一班的飞机。斯梅尔沮丧到了极点,因为按时出席大会的计划已经化为泡影!

这时,美国大使馆已经下班。经过一番紧张的联络和交涉,斯梅尔得到一位好心的大使馆官员的帮助。这位官员同情他的申述,不顾大使馆的惯例,给希腊海关写了一封信,请求放行斯梅尔,并且保证倘若在 8 月底以前斯梅尔不和他的车子一起重新出现在希腊,大使馆将承担一切责任。

这样,斯梅尔才得以在大会开幕的当天,乘上另一班从雅典经停布达佩斯到莫斯科的班机。在布达佩斯上机的一位相识的匈牙利数学家告诉他,报纸上说非美活动委员会已发出传票要他到国会听证会上接受质询。

一到莫斯科,他就径直赶去克里姆林宫。但是因为尚未办理报到手续,卫兵不让他进去。最后,他认识的一位苏联数学家帮助了他。当他进入会议大厅并在后排坐下时,开幕式早已开始,托姆教授正在用法语向大会介绍斯梅尔及他的卓越工作,这时,数学家们才发现,斯梅尔已经和他们在—起。

斯梅尔(左)和斯梅尔奖得主克里斯蒂安森(Snorre H. Christiansen)2011 年摄于布达佩斯

05 贡献数理经济学

20 世纪 60 年代末期,斯梅尔开始涉足数理经济学。他在《数理经济学杂志》等刊物上,发表了价格调整的动力学等一系列论文 ;80 年代由诺贝尔经济学奖获得者及相应水平的学者编撰的三大卷的《数理经济学手册》,有斯梅尔的一章“大范围分析和经济学”。1983 年度诺贝尔经济学奖获得者德布鲁(Gérard Debreu)在他的获奖演讲中明确指出,正是斯梅尔 1968 年向他介绍的萨德定理(Sard's Theorem),在 1970 年促成了他的主要理论的结晶。在当代科学的前沿发展中,这是值得大书一笔的学科交互渗透相得益彰的范例。

斯梅尔和德布鲁的首次见面,是在 1968 年。那时,他们都已经在伯克利,斯梅尔是数学系教授,德布鲁是经济学系教授。一天,德布鲁为了自己的经济学研究,走到斯梅尔的办公室向他请教数学问题。从法国移居美国的德布鲁 , 曾经受过布尔巴基学派的严格训练,数学基础扎实,而斯梅尔又是一个学术思想非常活跃、研究兴趣相当广泛的学者,所以他们之间很快就可以相互理解地讨论数学定理和经济学问题了。事实上,德布鲁提出的问题,正是斯梅尔研究数理经济学的开端。在后来的日子里,他们经常长时间地进行讨论,这也往往是他们一起外出游玩的真正目的。这样合作下来,在 1975 年德布鲁成了数学系的兼职教授,而 1976 年,斯梅尔也在经济学系取得了同样的位置。

英国古典经济学派的创始人亚当 • 斯密在 1776 年的名著《国富论》中写道,在自由经济的条件下,每个人追求的是个人的利益,但有一只“看不见的手”引导他去促进社会的利益。100 年以后,洛桑学派的创始人瓦尔拉斯(Leon Walras)在 1874 年的《纯粹政治经济学原理》中,把斯密的说法提炼为经济均衡的概念:他把“看不见的手”解释为市场的价格调节机制,把“社会利益”解释为供求均衡,考虑在各方都追求私利的条件下,是否存在一组合适的所谓均衡价格,使得由此决定的市场供给和市场需求正好相等。又过了半个世纪,沃尔德(Abraham Wald)使斯密 - 瓦尔拉斯的思想得到严格的数学陈述。从此,如何严格证明均衡价格的存在性,成了数理经济学的中心问题。

诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森、希克斯、阿罗和库普曼都对这一问题作出过贡献,而德布鲁受到纳什(John Nash)先前证明有限博弈必定存在纳什均衡的启发,首次令人满意地证明了一般经济均衡理论中均衡价格的存在性,他用的是凸分析和布劳维尔不动点定理。

如果均衡是唯一的,有关经济模式对均衡的阐述就完整了。但是到 20 世纪 60 年代后期已经清楚,整体唯一性的要求太高,局部唯一性将足以使人满意。在获奖演说中,关于局部唯一性的条件,德布鲁是这样说的 :

“正如我在 1970 年所做的那样,可以证明,在适当的条件下,在所有经济的集合中,没有局部唯一均衡的经济的集合是可以忽略不计的。这句话的确切含义及证明这个断言的基本数学结果,可以在萨德定理中找到,这个定理是斯梅尔在 1968 年夏天的交谈中向我介绍的。整个讨论的各个部分最后是在新西兰南岛的米尔福海湾完成的。1969 年 7 月 9 日下午,当我和妻子弗郎索瓦抵达那里的时候,遇上天阴下雨的坏天气。这迫使我回到房间里工作,继续研究困扰我多时的课题。而这次,观念竟很快结晶。第二天早上,晴空蓝天在海湾明媚的仲冬展现。”

萨德定理说,如果 f : M → N 是微分流形之间的光滑映射,则 N 的几乎每一点都是 f 的正则值。换句话说,f 的临界值在 N 中只是一个零测集。萨德定理其实是说,在适当的光滑性条件下,正则现象是通有的(generic),其几率为 l,而临界现象的几率为 0,常常可以忽略不计。的确,德布鲁就是借此定义了正则经济和临界经济。正则经济具有满测度 ;从而对正则经济业已建立的均衡集及其稳定性的结论,是合理的经济分析。

斯梅尔本身的经济学研究,见诸他已发表的许多论文,笔者等在别的地方的介绍文章亦可一阅。当得知德布鲁如所预料获奖时,斯梅尔写了一篇短文,在一页半的篇幅里精辟地介绍了德布鲁的工作,给予了高度评价。但这并非捧场应景的文章,其结尾蕴含着深刻的分析 :

“这并不意味着均衡理论就该是社会的模式。首先,它假设没有垄断,但是在一个分散化的经济系统中,垄断总是要产生的。其次还有不公平。阿罗和德布鲁证明了,当处于均衡配置时,没有人可以不损害别人就使自己更加受益。然而,理论本身却未排除社会产品的不公平分配。因此,政府对分散化的价格体系的有力调控,仍然需要。

特别重要的是,在阿罗 - 德布鲁的理论中,时间的进程没有得到充分的考虑。由于缺乏动力学的观点,他们的理论还不能很好地说明为什么价格体系要向均衡状态调整,为什么会停留在均衡状态。再一个有关的弱点是,他们的模式对经济主体人的行为理性化提出了不切实际的要求。要知道,即使配备了最新式的计算机,消费者和生产者也不可能作出该模式所要求的高度理性的决策。

尽管后面还有许多诱人的挑战,现在毕竟已经有了一个良好的框架。这就是两个世纪以来经济学家们奠定下来的基础,其中我们特别要提到斯密、瓦尔拉斯、沃尔德、阿罗和德布鲁。”

发表这篇文章的美国《数学信使》(Mathematical Intelligencer)杂志,特别鼓励出自大师的小品或随笔,轶事牢骚,亦悉听作者之意。

斯梅尔的传记

06 创新计算复杂性理论

20 世纪 70、80 年代,斯梅尔的研究重点是计算复杂性理论,主要是数值方法的计算复杂性理论。1981 年,他发表论文证明,概率地说来,用牛顿方法为 n 阶多项式找到一个零点的成本随 n 增长的速率不超过 n 9/μ7 ,这里μ ∈ (0, 1),是允许论断失败的概率。不久以后,他又发表论文论述,概率地说来,即除去一部分最坏和较坏的情况以后,线性规划的单纯形方法的计算成本随问题规模增长的关系是线性的。这些都是令人瞩目的突破性进展。

研究计算方法,就不能不考虑计算成本或算法效率的问题。在这个意义上,数值方法的计算复杂性讨论可谓源远流长。然而,直到 20 世纪 70 年代,讨论都带有局部的和渐近的特征。

斯梅尔的加入,是数值方法计算复杂性讨论从最坏情形讨论进入到概率情形讨论并且取得重大突破的开始。笔者曾应斯梅尔教授的邀请访问过伯克利,对斯梅尔作为这一发展的学术带头人所起的巨大作用有深刻的印象。短短四年之内,《美国数学会公报》先后刊发了他的开创性论文《代数基本定理和复杂性理论》和深刻述评《关于分析算法的效率》,四年一度的世界数学家大会在 1986 年的伯克利大会上又邀请他就这一发展作题为“解方程的算法”的一小时报告。在纯粹数学和应用数学的边缘领域,得到如此重视,十分罕见。

有兴趣的读者当然会找上述文章认真研读,笔者也就此发表过一篇专论,所以在这里,我们宁愿多谈一些学术环境和治学风格的问题。

正是在用动力系统框架处理价格调节的市场机制时,斯梅尔提出了整体牛顿法的概念。这一发展当然引起了人们的兴趣,因为牛顿方法是计算数学或数值分析的传家宝,通常只具有局部收敛性。斯梅尔从计算机科学的复杂性理论汲取营养,在动力系统的框架上处理算法及其效率的问题,形成数值分析复杂性理论的新发展。《论语 • 为政篇》曰 :“七十而从心所欲,不逾矩。”斯梅尔很早就达到了这样的境界。

斯梅尔关于数值分析计算复杂性理论的工作,主要通过与合作者和研究生的经常性讨论进行。研究生课程,就围绕有关课题展开,由斯梅尔主持,同时邀请有关专家作相关进展的报告。笔者 1983 年春天的应邀访问,报告我们关于 Kuhn 算法算出 n 阶多项式全部 n 个根所需要的多项式计值次数不超过 n 3 log 2 (n/ε) 的结果,这里 ε > 0 是计算的精度要求,就属于这种性质的安排,是 1983 年春季学期他那门研究生课的第一个外邀演讲。

课程往往针对未解决的问题展开,斯梅尔在课上讲问题的提出和自己的想法,课上就进行解决问题的各种尝试,这就为研究生提供了参与解决重大课题的可能性。即使按照科学研究的规律,有时具体目标最终未能实现,但学生们还是学到了许多东西。要知道,导师如何提出问题思考问题,如何在碰钉子后转弯,如何在一项设想被证实行不通时获取关于原问题的进一步的信息,这一切,恰恰难以在书本或正式发表的论文中学到。当成果整理成文时,作者通常不谈在这之前艰苦摸索的历史 ;即使个别作者愿意提及,学报也不屑于刊登。

在斯梅尔的合作者当中,特别应当提到布卢姆(L.Blum)、雷内加(J. Renegar)和舒布 (Mike Shub)。由这些人组成的斯梅尔学派,领导着当时数值分析计算复杂性讨论的主流。

斯梅尔活跃的研究工作也招来若干非议。除了部分纯粹数学家对应用数学的传统偏见外,斯梅尔有时行文不够严密是一个原因。一篇重要论文隐含几处数学失误和几十处印刷毛病的例子,也曾发生。显然有这样的情况 :他不是在严密论证后得出某个结果,而是相信结果会是怎样然后有点马虎地写几行备忘式的论证。读这样的文章当然特别吃力,我们就做了一些铺平的工作。当你花费九牛二虎之力将漏洞补上时,只好佩服他那卓越的数学洞察力。也有若干至今没有补上、依然存疑的地方,也许要留待将来去辨明。斯坦福大学运筹学系的伊夫斯(Curtis Eaves)教授说,斯梅尔只管提供思想,把细节留给别人。这代表不少人的信念,尽管那些细节实在不细。种种原因,难怪一些有造诣的数学家也会说斯梅尔是弄潮公子(playboy),按照他们的国情,这很难说是恶意。我们在前面谈到过与他同辈的斯塔林斯和赫希,前者在他之后用逻辑上独立的方法证明了高维庞加莱猜测,后者经常与他合作,名著《微分方程、动力系统与线性代数》就是一项结晶。斯塔林斯就曾在一篇公开的文章中写道 :两相比较,赫希更像一个刻苦工作的数学家,而斯梅尔或多或少是一个幸运的狂人。

苏联著名数学家阿尔诺德(Vladimir Arnold)曾多次应邀在世界数学家大会上作一小时报告,他的许多著作被译成英文和其他文字。他同意爱因斯坦的话 :现代教学方法如果没有完全扼杀人类神圣的好奇心,就已经可称奇迹。他推崇他的导师柯尔莫哥洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov)除了激励以外,还给学生许多自由。在一篇访问记中,他曾对数学论著的刻板风格提出过尖锐的批评。他说 :

“对于我来说,要读当代数学家们的著述,几乎是不可能的。因为他们不说‘彼嘉洗了手’,而是写道‘存在一个 t 1 < 0,使得 t 1 在自然映射 t a 彼嘉的手(t)之下的像属于脏手的集合,并且存在一个 t 2 ,t 1 < t 2 < 0,使得t 2 的像属于脏手的集合的补集。’不过,有几位数学家,比方说米尔诺和斯梅尔,他们所写的文章,是仅有的不这样故弄玄虚的例子。”

是的,斯梅尔的确独树一帜。

07 不甘寂寞似天性

青年时代的斯梅尔,无论在学术研究方面还是在社会生活方面,都不安分守己。

证明了高维庞加莱猜测的 1960 年 6 月,斯梅尔到欧洲度过了 3 个星期。苏黎世会议以后,他回巴西把全家接到伯克利,因为他已在加州伯克利大学谋得位置。这段时间的工作之一,是他的 h 配边定理。一年以后,由于兰(Serge Lang)的介绍,他到位于纽约市的哥伦比亚大学任教授。在那里的三年,他主要研究大范围分析。1964年夏,他又举家回到伯克利。西海岸不仅气候宜人,更重要的是加州伯克利大学已经决定给他正教授的职位。

20 世纪 60 年代,美国的学生运动风起云涌。就在回到伯克利的那年秋天,斯梅尔和其他人一起,通过一次颇具规模的静坐示威,使数学系研究生弗兰克(DavidFrank)和舒布无罪获释。舒布后来成为斯梅尔研究计算复杂性理论的主要合作者,1984 年曾来北京参加双微会议。1965 年春,越战升级。斯梅尔积极参加抗议活动,成为越南日委员会两主席之一。他们还曾试图阻止运送部队的军车。在伯克利附近的委员会总部后来是被人炸掉的,斗争之激烈可以想见。

虽然 1965 年秋斯梅尔已对抗议活动感到失望并重新回到数学中来,但是 1966 年夏当他作为施瓦兹的客人来到巴黎时,还是应邀在“献给越南的六小时”集会上发表使会议的气氛达到高潮的演说。大家知道,施瓦兹本人就是法国左翼运动的一位领导人,曾激烈反对法国的阿尔及利亚战争。

到莫斯科参加世界数学家大会时,由于他们的反越战名声,四位越南数学家邀请斯梅尔、施瓦兹和戴维斯(Chandler Davis)参加一个私人宴会。戴维斯是斯梅尔在密歇根大学时的同学,曾因反对越战而被捕入狱,后来只好到加拿大的多伦多大学当教授。越南人希望斯梅尔能向越南记者发表谈话,他答应了。但是为了避免误传,他坚持他的几个朋友和一位美国记者在场。也请了苏联记者,这是出于对东道主的尊重。想不到这样一来,越南记者反而不肯出席。

邀请已经发出,斯梅尔只好如期和记者见面。会见在世界数学家大会的主会场莫斯科大学举行。会前,塔斯社一名女记者请求同他单独谈谈,他说会后可以。会上,血气方刚的斯梅尔激烈抨击美国对越南的入侵,但又翻出十年前苏联出兵匈牙利的老帐 ;他揭露美国的麦卡锡主义和非美活动委员会,但又呼吁给他的持不同政见的苏联朋友人身自由和言论自由的权利。这时,一位妇女上来说,数学家大会组委会的卡莫诺夫紧急约见。在回答完记者的问题以后,他随那个妇女去看卡莫诺夫。朋友们和美国记者感到蹊跷,也一起跟了过去。

卡莫诺夫跟他友好地闲谈,送给他一本精美的德文的克里姆林宫画册,并表示要为他在会见女记者之前游览莫斯科提供方便,汽车和导游都已到位。斯梅尔这时候并无观光的兴致,也不知将到哪里去,内心有点紧张。但因为答应过同女记者单独会见,就只好提醒自己客随主便,拿出大人物的气概来,还是跟导游上了车。当一行离开卡莫诺夫的办公室时,等在门外的美国记者问斯梅尔发生了什么,他竟不知如何作答。上车时,新闻记者和随行的朋友都被苏联人推向两旁。赫希大声喊 :“史蒂芬,你没事吧 ?”他只答了一句“我想是的”,就被飞快的小轿车送得无影无踪。

最后,当车子开到塔斯社总部时,斯梅尔受到了红地毯的待遇。人们这样那样地应酬他,但是既没有记者采访,又没有游览观光。原来这一切只是为了消磨他的时间。经过一再坚持,斯梅尔才得以赶回去参加数学家大会的闭幕式和招待会。朋友们十分替他担心,劝诫他再勿单独行动。半夜以后,惊魂甫定的斯梅尔回到乌克兰酒店的房间,电话铃响了。原来,大会主席、莫斯科大学校长彼得罗夫斯基约他明天上午见面。但他要乘早晨七点钟的飞机离开苏联,会面已无可能。电话铃再次响起,这次是美国大使馆,问他怎样了,是否需要什么帮助。他回答说,他大概已不需要任何帮助了。只睡了半个觉,七点钟的飞机把斯梅尔送回雅典机场与家人团聚。

08 帆船矿石寄闲情

斯梅尔出身拓扑学,拿手的是动力系统理论。虽然本文没有介绍他在力学方面的探讨,但他的《力学与拓扑学》的系列论文,影响可与数理经济学的研究媲美。了解一点混沌理论的读者,都知道菲根鲍姆(M. Feigenbaum)的大名。在一篇回顾周期倍化分叉现象的研究和菲根鲍姆普适常数的发现的文章中,菲根鲍姆直言不讳地承认,1975年斯梅尔关于动力系统理论的一次演讲,使他产生了决定性的灵感。

斯梅尔在驶帆

1989 年五月中到六月初,应吴文俊教授的邀请,斯梅尔夫妇首次来华访问,第一站就是我们中山大学。在广州的四天里,斯梅尔作了题为“计算的理论”的专题报告,并就数理经济学的发展进行了一次座谈。专题报告的底本,是他和舒布、布卢姆不久前完成的一篇 75 页的论文。此外,他还带来一篇一年前发表的文章《牛顿对我们理解计算机的贡献》。中山大学本科毕业的高峰,是第一位在斯梅尔指导下获得博士学位的中国大陆学生,高峰的双亲在广州设宴招待斯梅尔夫妇。

至少在进入中国大陆的头几天,斯梅尔了解社会的兴趣远在观光游览之上。无论是越王墓陈家祠还是白云山七星岩,都不像平凡的街市、市民的日常生活和学生的激情活动那样对他具有吸引力。常常,他宁愿步行甚至挤公共汽车,还到处找英文报纸。我们作为主人,在保证安全的前提下,亦尽量按照客人的心意安排,包括去看看街上的学生。离穗赴杭的前一天,斯梅尔夫妇坚持邀请笔者一家到南园酒家晚宴。

收藏矿石标本,是斯梅尔的嗜好。他曾经写道,施瓦兹喜欢收藏蝴蝶标本,为此探访过世界上许多丛林。他自己收藏矿石标本的劲头,也毫不逊色。事实上,他的私人收藏,可以和许多博物馆媲美。在学生的帮助之下,笔者送给斯梅尔一块辉锑矿标本,略表心意。辉锑矿是我国湖南的特产,有我国邮政的一枚邮票为证。

斯梅尔收集的水晶(来自加州伯克利大学网站)

斯梅尔的另一项爱好是驶帆,伯克利许多数学研究生都有与他一起在旧金山湾区驶帆的经历。这次他告诉笔者,他已经把那只大帆船卖掉,之前的告别旅行堪称壮举。那是 1987 年夏天,他作为船长和两个年轻朋友一起从旧金山出发,南偏西跨过赤道,历时 25 天到达法属马克萨斯群岛。这25天,他们可以借助球形天线接受外界的信号,而外界对他们却一无所知,事实上他们没有发送设备。这需要太多的冒险精神。随后,他们绕道夏威夷,折返旧金山。整个旅行,延续了 3 个月。

斯梅尔有在海滨这样的地方做数学的兴致。关于这一点,20 世纪 60 年代在美国《科学》杂志上还有过一番争辩。莫斯科大会以后,校方受到非美活动委员会的压力,扣下了国家科学基金会给斯梅尔的暑假研究工资。在他抗议以后,总统的科学顾问撰文诘问 :“纳税人的钱难道应当用来支持在里约热内卢海滩或爱琴海群岛上的数学游戏 ?”这一下引起了一场轩然大波。许多当代最有名望的数学大师投书猛烈抨击科学顾问的恶意和无知。斯梅尔和数学家们取得了全胜。

09 生平故事补记

在 1983 年春天的上述应邀讲演以后,从 1990 年 12月到 1991 年 3 月,笔者曾经作为访问学者访问加州伯克利大学经济学系,期间曾在该校同一座大楼的数学系和计算机科学系作过一个题为《科学计算中的同伦方法》的报告。报告之后,斯梅尔夫妇邀请笔者和宣晓华、王敏华夫妇家宴,并参观教授的矿石标本和摄影作品。宣是先前杭州大学王兴华教授的高足,是继高峰之后师从斯梅尔得到博士学位的第二位来自中国大陆的留学生,王仍是另外一所学校在读的研究生。他们都是笔者的好友,兼有身处西方环境的成功和根植华夏大地的善美。

许是部分由于笔者略欠恭敬的“易读文章” 的索求,斯梅尔给了我一篇《传略注记片段》和一篇《什么是混沌》。笔者的手信,则是刊文介绍斯梅尔到那时为止的主要成就的一期《自然杂志》, 封三有斯梅尔在中山大学讲学的留影以及他自荐给我在那里刊登的驶帆照片。

《传略注记片段》原为 1990 年加州伯克利大学的“斯梅尔日”活动而写,那是他的 60 寿辰。赏读之间,笔者仿佛领会了一种什么意境。如果一位仍然极富创造的大科学家在颇为认真地叙述童年和青少年往事,那么,这些似与科学无关的故事,很可能包含着某种暗示。本文的这个补记,大多数内容就取自斯梅尔关于自己生平的这些文字,另外还有与斯梅尔的同事和学生的谈话。前面说过,诺贝尔经济学奖获奖者德布鲁和参与开创混沌理论的菲根鲍姆,都在获奖演说中称颂斯梅尔的论著和谈话,是使他们的研究工作获得决定性突破的重要因素。一个数学家,能够以自己的工作对同时代的经济学家和物理学家提供如此的影响,实在难能可贵。在我看来,除了学术本身以外,斯梅尔富有色彩的生活轨迹,也很值得体味。

斯梅尔、太太克拉拉以及克林顿总统在白宫

斯梅尔的父亲在密歇根州弗林特市通用汽车公司的一个陶瓷工厂工作,那是个白领阶层的职业,但他并不喜欢。他自诩是个左派革命者,动辄批评别人是改良主义。求学期间,他就因 “出版刊物亵渎上帝” 被大学开除。他甚至不是一个爱国主义者。例如,只因美国的童子军标榜体现“上帝和国家的意志”,而这正是他认为最坏的东西,所以他不许儿子参加童子军。本来,父亲一直疼爱孩子,很好说话,但这次却死活不肯通融。斯梅尔至今记得这童年的心灵创伤 :那次,虽然父亲买了礼物作为补偿,他还是哭了好几天。所以,斯梅尔评论他父亲那时候“过着一种双重的生活”。

其实,父亲对他的影响还是很大。斯梅尔二十岁时才第一次走进一个教堂,就是生动的例子。对于一个生在美国长在美国的青年,这实在是难以想象的事。而那一次,他也只是作为闲暇旅游,在法国参观著名的巴黎圣母院。用他自己的话说,他一直对美国的社会制度和社会运作,抱清醒的怀疑态度。

斯梅尔全家在英属维京群岛度假

斯梅尔和父母妹妹一家四口,住在离弗林特市十英里的乡下地方。从小学到初中,每天他和妹妹步行一英里到一所只有一个房间的学校上课。他至今非常赞赏那所小小的学校 :统共只有一位上过一两年大学的女教师,她教九个年级的学生,每个年级都有语文、数学、历史等课程。此外,女教师还兼管借还图书、看门、烧午饭等杂事。尽管这样,斯梅尔觉得他们还是得到了良好的教育。

进入高中以后,由于来自乡下地方,他一直未能把自己的心理调整到适应这所高中的环境,兴趣完全在学校之外。他曾经变得热衷于下棋,参加过三次全国锦标赛的选拔。他还自学有机化学,自个在鸡舍的顶楼上建立过可称为实验室的设施。

学校生活的第一次“对抗”,就发生在高中阶段,起因是生物学老师杰沃特不讲进化论。本来,课本上是有进化论的,但老师跳过了这一章。20 世纪 20 年代,美国有过一个斯科普斯审判案,说的是田纳西州代顿地方的中学教师斯科普斯因讲授进化论而被指控违反州法。针对这个案子,州议会于 1925 年 3 月宣称,《圣经》教导上帝创造人类,宣传与此相悖的理论即为非法。法官在审理此案时,不问这项法律是否违宪,也不问进化论学说是否正确,只问斯科普斯有没有讲过进化论。斯科普斯承认讲过,结果就被判罚。当事人不服判决,提出上诉。州最高法院却仍裁定上述州法符合宪法,只是免除了对斯的处罚。(该项州法直到 1967 年才予以废止。)这个历史故事给了斯梅尔很大的刺激。他在同学中发动签名,要求生物课讲授进化论,但是只有一个追随者响应。

若干年以后,当斯梅尔取得数学博士学位并开始显露才华时,父亲寄给他 1959 年 11 月 15 日《弗林特日报》的一条剪报,标题是“数学天才留给老师们深刻印象”,其中写道 :

“斯梅尔当年的生物学老师杰沃特形容斯梅尔是个用功的孩子,对生物学很感兴趣,老爱提问题。杰沃特说 :‘他不是那种只会吸收知识的学生,他对整个班级做出很大贡献。这并不是说同学们都只向他学,而是说他经常提出好的想法。’杰沃特还赞赏斯梅尔是个沉静和谦恭的学生,博得同学们的尊敬。”

其实九年前高中毕业时,手册上老师的写法却有点儿不同。手册上面也记载着他自己的一句话 :“我有我自己的想法。我不附和任何人。”

进入密歇根大学,斯梅尔面对一个新的世界。他交了许多朋友。不过,这些朋友几乎都是男同学,因为直到这个时候,他还很不善于和女性相处。他投身校园生活,参与组织象棋俱乐部。但是更重要的是,他逐渐卷入了大学的左翼政治运动。这首先是出于对美国社会和制度的不满和怀疑。

那时候他是进步党的积极分子,一度还成为共产党员。1951 年夏天,他出席了在东柏林举行的世界青年联欢节。他们经常讨论的议题包括 :民权、朝鲜战争、核武器、麦卡锡主义、罗森堡案件等等。他们还相当认真地学习马列主义和联共(布)党史。在斯梅尔看来,每个人都需要一种信仰,而他对宗教不感兴趣。那时麦卡锡主义十分猖獗,他们的活动引起非美活动委员会的注意。这在以后给斯梅尔带来许多麻烦。

斯梅尔原来的专业是物理学。由于一门物理不及格,四年级毕业班时他转到数学专业。想不到这一转,竟造就了二十世纪和二十一世纪的一位数学大师。

1952 年秋,斯梅尔以优秀的成绩进入密歇根大学研究生院,选的还是数学。他回忆选数学只是出于自大学四年级以来的惯性。事实上,他仍然在别的方面投入大量的时间和精力。1953 年夏天来临时,系主任海德孛兰德特请他到办公室,郑重地告诉他,倘若数学成绩没有改善,就不必在研究生院呆下去。

这时,他已经23岁。他需要认真考虑一下自己的未来。他的导师波特教授非常好。对前途的关切,系主任的警告,导师的鼓舞,这三者合在一起,使斯梅尔变成一个非常勤奋的数学研究生。这种勤奋的数学研究,一直持续了十一年,直到 1964 年秋因为在加利福尼亚州伯克利的“自由言论”运动,才被打断。

将近 40 年以后的 1991 年,后来供职哈佛大学的波特教授在提名斯梅尔为美国数学会会长时回忆道 :斯梅尔是 1952-1953 年间我在密歇根头一次教拓扑学时的三个学生之一。他的风格和现在一样,不大作声,甚至可以说有点害羞。他老是坐在后面,很少讲话,仿佛是宁愿让数学的波浪冲刷自己,而并不主动迎上前去。然而,当他后来挑选我这个拓扑学新手作他的论文导师时,他的天才和勇气很快就表现出来。波特写道 :我向他提出一个有关流形上的正则曲线的问题。具体来说,这种曲线的空间在它的切向的投射满足所谓覆盖同伦性质。这一概念出现于 20世纪 40 年代后期,我也是头一年才从普林斯顿学回来的。那是个分析和拓扑相结合的问题。斯梅尔在他的论文中表现出来的几何洞察力和分析功夫,留给我深刻印象。更令人感到高兴的是,在随后的几年里,他发展了这种技巧,直至证明了高维庞加莱猜测。波特认为,由于斯梅尔的重建,莫尔斯(Morse)理论成为微分拓扑学的有力工具。莫尔斯不等式解决了动力系统的许多问题,反过来,动力系统概念加深了人们对莫尔斯理论的理解。这是许多结果的基石。

1954 年秋,斯梅尔邂逅克拉拉,两人一见钟情。他们在次年初结婚。有克拉拉这样的女子作自己的终生伴侣,斯梅尔觉得十分幸运。从此,他对于数学研究专心了好长一个时期。

研究生阶段第三学年开始时,他在数学系得到一份助教的工作。但是只上了五次课,海德孛兰德特教授就通知他已被解雇,原因是他过去的左翼活动。海德孛兰德特把这归咎于大学当局。的确,海德孛兰德特教授当时曾为他找到一个研究合同,使他能继续得到资助。那时,斯梅尔的研究正在兴头上。反正有钱支持生活和研究,他也就没多计较。后来,这笔研究资助也没了。幸亏妻子克拉拉找到一份小图书馆馆长的工作,使他得以完成研究生的学业。

在以后的岁月里,过去的左翼活动记录一直烦扰着他。后来,一位同情他的教授告诫他,不要再找老系主任海德孛兰德特教授写推荐,因为他在推荐中总是提醒别人 :斯梅尔是个左翼分子。

1956 年的秋天,斯梅尔夫妇迁到芝加哥,他在那里接受了他的第一个教职。不过,不是在数学系任教,而是在芝加哥大学给人文科学的学生讲集合论。

他们的儿子涅特出生于 1957 年。两年以后,女儿劳拉也降临人世。涅特后来也成了数学家。

这时候,斯梅尔的数学研究初露锋芒。1958 年,他到了普林斯顿高等研究院。又经过在加州伯克利大学、纽约哥伦比亚大学、巴西里约热内卢纯粹与应用数学研究所的短期工作,最后落脚在伯克利。关于斯梅尔的学术生涯和学术成就,前文已有长篇介绍,这里我们就谈点别的事情。

1962 年 10 月,当听说苏联在古巴部署了核导弹时,斯梅尔全家正住在纽约。原子战争的恐惧迅速蔓延。斯梅尔迁怒于肯尼迪,认为是他让苏联人觉察到美国已在邻近苏联的土耳其部署了导弹,才造成了这次危机。他也恨赫鲁晓夫。他们想,如果死于因为两个超级大国疯狂的军备竞赛而爆发的核战争,将毫无意思。倘若战争打起来,纽约必是首选的目标。斯梅尔夫妇赶紧收拾了少许细软,就驱车带着孩子斜穿北美大陆,朝墨西哥方向驶去。斯梅尔的父母当时正在纽约探望他们,就留下来帮着照料房子。大学里只有几个老师知道他们的行踪,给他们打掩护。阿伯拉罕(Ralph Abraham)和兰两个朋友还自行给斯梅尔代课。

从纽约到墨西哥的长途汽车旅行,使他们的神经慢慢松弛下来。斯梅尔从墨西哥打电话给在学校的朋友了解情况。当导弹危机过去时,朋友们告诉他,这次擅离哥伦比亚大学,目前还可以补救。他赶紧乘飞机赶回纽约,把课接下去。克拉拉则开着车子,穿过大陆,和孩子们一起回来。没几个人觉察到他们的出走,这就是美国社会。

他们是发疯了吗?还是丧失了理智?多年以后,斯梅尔自己仍然觉得难以给予分析。克拉拉则把他们自己的行为和犹太人逃离纳粹德国相比。

1964 年的夏天,斯梅尔一家迁往西海岸旧金山附近的伯克利。弗兰克夫妇(Kathy and David Frank)和舒布也同时前往,本来他们都是哥伦比亚大学的学生。斯梅尔一家乘飞机过去,三位学生就开着斯梅尔家的车子过去。自那时以来,舒布一直是斯梅尔的密友和主要的研究合作者(特别是在计算复杂性理论方面), 两家保持着亲密的友谊。

1991 年初那次家宴后的第五天,斯梅尔教授告诉笔者,他的父亲已于前一天去世,享年 92 岁。他的母亲当时仍然健在,和他们住在同一个城市伯克利。

1994 年,斯梅尔从加州伯克利大学退休,不久以后,他作为“杰出大学教授”,在香港城市大学工作了六年。期间,他在 1996 年获得美国国家科学奖。2000 年年底,俄罗斯科学院将一颗小行星命名为斯梅尔星,并且专门在香港城市大学举行了命名仪式。笔者时在城市大学短期工作,恰好躬逢其盛。一次笔者趋访,他送给我关于 21 世纪可能解决的数学问题的一个清单。

从前在伯克利,只要他在办公室,办公室的门总是打开的。后来在城市大学,他也依然延续这一风格。关于他在香港城市大学的去留,当时流传两句话,一是 a lot of money,二是 maybe forever。

从 2002 年开始,斯梅尔是芝加哥丰田研究所(Toyota Technological Institute at Chicago)的教授。2007 年,斯梅尔更荣获褒奖数学方面终身成就的沃尔夫奖。

2009 年到 2014 年,斯梅尔再次作为杰出大学教授,在香港城市大学工作。近年来,斯梅尔的研究集中在学习理论(Learning Theory),学科交叉的跨度就更大了。

在城市大学,据说曾经有学生记者问他是不是一位纯粹数学家,他回答说不是,问他是不是一位应用数学家,他回答说也不是。那么他怎样给自己定位呢,他说可以叫做数学科学家。事实上他强调,他比较着力于为人们关心的问题建立理论基础,注重科学应用的理论化。我想这就是他所说的数学科学家的意思吧。

大家都知道斯梅尔热衷于收集矿石。有学生记者问他,是爱数学多一些,还是爱矿石多一些。他想了一会儿,说对矿石与数学同样爱好。上一次在城市大学工作几年,大家都知道他不时会大清早就出门去深圳淘矿石。当得知湖南有一个矿物博览会时,他也曾专程北上。

斯梅尔收集的部分中国矿石

虽然已经 85 岁,斯梅尔的身体仍然很好。在香港,他喜欢登山、游泳。周末可能“登山两个钟头,游泳一个钟头,然后继续登山”。据说不少年轻人都甘拜下风,怕他又邀请同行,体力上吃不消。斯梅尔还要到香港来的。我们祝愿他健康如意。

作者简介:王则柯,中山大学岭南学院教授。北京大学数学力学系数学专业毕业,研究数值方法计算复杂性理论,师从江泽涵、姜伯驹两位先生。后来专注于中国大陆经济学教育的现代化。

原文发布于微信公众号 - 顶级程序员(TopCoding)

原文发表时间:2018-03-20

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