强化学习读书笔记 - 02 - 多臂老O虎O机问题
强化学习读书笔记 - 02 - 多臂老O虎O机问题
学习笔记： Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016
数学符号的含义
多臂老O虎O机问题
一般的老O虎O机只有一个臂（杆）。你塞10个硬币，拉一下杆，老O虎O机可能会吐出来一两个硬币，或者100个硬币。 多臂老O虎O机有多个杆（象征着多个行动(action)，每个杆有自己特有的吐钱逻辑）。 注意：每个杆的吐钱概率可能是固定的(stationary)，也可能是不固定的(non-stationary)。不固定在现实中更常见。 多臂老O虎O机问题就是在许多次尝试后，找到一个有效收益的策略。 多臂老O虎O机问题是统计学、工程、心理学的一个经典问题。不要小看了这个问题，很多权威都研究过。 在强化学习方面，我们通过这个问题，可以了解强化学习的基本概念和算法的思路。其中包括：
- 探索(exploration)和采用(exploitation)的权衡
- 贪婪(greedy)
- 收敛(convergence)
- 参数初始化的重要性
- 梯度递减(gradient descent) （注：梯度递增和梯度递减的意思一样，只是看问题的方向不一样。） 等等。
如何判断算法的好坏
在讨论算法前，我们先考虑判断算法好坏的标准。
- 建立模型 建立一个10臂老O虎O机。 每个臂的真实行动价值\(q_*(a), a = 1, \dots, 10\)是一个符合（平均值=0, 方差=1）的正态分布。 每个臂的每次行动的估值\(R_t(a)\)是一个符合（平均值=\(q_*(a)\), 方差=1）的正态分布。
- 测试标准
- 平均奖赏 - 奖赏越多越好
- 最优行动 - 和实际最优行动一致的比率越大越好
解决方法
行动-价值方法 (action-value method)
在决定第t次的行动\(A_t\)时，使用下面的算法。 A_t = \underset{a}{argmax} Q_t(a) \\ where \\ 1_{A_i=a} = \begin{cases} 1, if A_i = a \\ 0, otherwise \end{cases}
- 贪婪方法(greedy method) 总是选择当前取得最大收益的行动。 特点：最大化采用(exploitation)。 算法的过程如下： 初始： \(Q_0(a), a = 1, \cdots, 10\) 都为0； 每个杆（action）都拉一下。 \(Q_0(a), a = 1, \cdots, 10\) 有了新值。 根据当前平均收益最大的杆，当做本次选择的杆。
- ε - 贪婪方法(ε-greedy method) ε - 读作epsilon。有弹性的意思。 一般情况下选择当前取得最大收益的行动，但是有一定比例ε的行动是随机选择的。 特点：增强了探索(exploration)性。 算法的过程如下： 初始： \(Q_0(a), a = 1, \cdots, 10\) 都为0； 每个杆（action）都拉一下。 \(Q_0(a), a = 1, \cdots, 10\) 有了新值。 根据当前平均收益最大的杆，当做本次选择的杆。 同时根据\(ε\)的值，随机选择一个杆。（比如：\(ε=0.1\)，每十次随机选择一个杆）
增值实现(incremental implementation)
如何计算\(Q_t\)。 算法 \begin{array} \\ Q_t & = \frac{1}{t-1} \sum_{i=1}^{t-1} R_i \text{ : this method need memory all } R_i. \\ & = Q_{t-1} + \frac{1}{t-1} \left [ R_{t-1} - Q_{t-1} \right ] \text{this method is better, just need memory last } R_{t-1}, Q_{t-1}. \end{array}
带权值步长的增值实现(incremental implementation with weighted step size)
一个替代算法。用步长\(\alpha\) 代替$ \frac{1}{t-1}$。 算法 Q_t = Q_{t-1} + \alpha \left [ R_{t-1} - Q_{t-1} \right ]
解释 这个算法利于解决非稳定(non-stationary)问题。 非稳定(non-stationary)问题意味着\(q_*(a)\)是会发生变化的。因此，最近几次的奖赏更具代表性。 \(\alpha\)越大，意味着最近奖赏的权重越大。 这里也可以看到梯度计算的影子。
优化初始值(Optimistic initial values)
优化初始值\(Q_1(a)\)，如果赋值越大，会鼓励探索。 初始值为0时，ε - 贪婪方法(ε=0.1) 好于 ε - 贪婪方法(ε=0.01) 好于 贪婪方法。 看来冒一定风险还是有好处的。 初始值为5的贪婪方法 好于 ε - 贪婪方法(ε=0.1)。 有钱人更容易成功。
置信上界选择算法 (Upper-Confidence-Bound action selection)
可理解为求每个行动的最大可信值，选择最大可信值最大的行动。
算法 A_t = \underset{a}{argmax} \left [ Q_t(a) + c \sqrt{\frac{\log{t}}{N_t(a)}} \right ] \\ where \\ c \text{ : > 0, controls the degree of exploration. bigger c means more exploration.} \\ \text{if } N_t(a) = 0 \text{, then a is considered to be a maximizing action.}
算法理解 这个算法在计算：第t次的行动应该是什么？
我们没有说：“第t次的最优行动应该是什么？”。为什么不说最优呢？ 因为，强化学习的目的是总体最优，不是局部最优，因此“第t次的最优行动”不是强化学习最求的目标。
c是一个可调的参数。我们在理解中不用太关心它，当它是\(1\)好了。
- 梯度老O虎O机算法 (Gradient Bandit Algorithms) 之前的算法，主要是通过发生的事件，根据行动的估计奖赏，来决定选择哪个行动。 梯度算法是：通过发生的事件，根据行动的倾向\(H_t(a)\)，来决定选择哪个行动。 （个人没看出有什么不同）。 Pr\{A_t = a\} = \pi_t(a) = softmax(H_t(a)) = \frac{e^{H_t(a)}}{ \sum_{i=1}^k e^{H_t(a)}} \\ A_t = \underset{a}{argmax} (\pi_t(a)) \\ \pi_t(a) \text{ for the probability of taking action a at time t.} softmax是一个激活函数。通常用于输出的概率计算，就是现在看到的例子。
H_1(a) = 0, \forall a \\ \text{After action } A_t \text{ and receiving the reward } R_t, \\ H_{t+1}(A_t) = H_t(A_t) + \alpha(R_t - \bar{R}_t)(1- \pi_t(A_t)) \text{, and} \\ H_{t+1}(a) = H_t(a) - \alpha(R_t - \bar{R}_t)\pi_t(a) , \forall a \ne A_t \\ \bar{R}_t = \frac{\sum R_t}{t} \\ where \\ \alpha \text{ - step size parameter.} \\ \bar{R}_t \text{ - the average of all the rewards up through and including time t.}