读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
理性和公共知识
本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。
纯策略中的优势(dominance)
- 数学表达: 除了玩家i以外所有玩家的策略集合
S \equiv S_1 \times S_2 \times \cdots S_n \\ S_{-i} \equiv S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_{i-1} \times S_{i+1} \times \cdots S_n \\ s = (s_1, s_2, \cdots, s_n) \\ s_{-i} = (s_1, s_2, \cdots, s_{i-1}, s_{i+1}, \cdots, s_n) \\ s = (s_i, s_{-i}) S: 所有人的所有策略组合。 S_{-i}: 除了玩家i以外，所有人的所有策略组合。 s: 所有人的一种策略组合。 s_{-i}: 除了玩家i以外，所有人的一种策略组合。 引进S_{-i}和s_{-i}是为了
- 通过看玩家i以外的所有玩家的策略，来考虑玩家i的策略。
- 或者专门看玩家i策略。
劣势（被支配）策略(Dominated Strategies)
- 定义 4.1：严格劣势于 对于玩家i，策略s'_i严格劣势于s_i，则：
v_i(s'_i, s_{-i}) < v(s_i, s_{-i}), \forall s_{-i} \in S_{-i}
断言 4.1
一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。
优势策略(Dominant Strategies)
- 定义 4.2： 严格优势策略(strictly dominant strategy) 策略s_i \in S_i是一个严格优势策略，如果玩家i的任何其它策略都严格劣势于s_i
v_i(s_i, s_{-i}) > v(s'_i, s_{-i}), \forall s'_i \in S_i, s'_i \neq s_i, and \ \forall s_{-i} \in S_{-i}
- 定义 4.3： 严格优势策略均衡(strictly dominant strategy equilibrium) 策略组合s^D \in S_i是一个严格优势策略均衡，如果其中每一个玩家i的策略都是严格优势策略。
s_i \equiv s_i^D, \forall i \in N
推论 4.1
如果博弈\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})有一个严格优势策略均衡s^D，则s^D是唯一的严格优势策略均衡。
断言 4.2
如果有的话，玩家一定会选择优势策略。
策略，策略集合，策略组合和策略均衡
- 策略(strategy) s_i是玩家的一个策略。
- 策略集合(strategy set) S_i是玩家的所有策略集合。s_i \in S_i S是所有玩家的所有策略的组合的集合。
- 策略组合(strategy profile) s是N个玩家的一种策略组合。s = (s_1, s_2, \cdots, s_n), s \in S
- 策略均衡(strategy equilibrium) s是任何一种导致合理结果的策略组合。
方法：严格劣势策略的迭代消除
博弈论方法就是一个寻找均衡的过程。 方法名：IESDS(Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies) 基本逻辑：
一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。 如果有的话，玩家一定会选择优势策略。 过程：略
- 迭代消除均衡(Iterated elimination equilibrium) 严格劣势策略的迭代消除(IESDS)过程中幸存下来的博弈组合\(s^{ES}\)。
推论 4.2
如果博弈\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})，s^*是一个严格优势策略均衡，则S^*是唯一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡。
信念(Beliefs)，最佳响应(Best Response)和可合理化(Rationalizability)
在已经学习的两个方法严格优势策略和严格劣势策略的迭代消除(IESDS)之外的情况下，如果玩家i的一个策略s_i不是一个严格劣势策略，那就意味着在一定条件下（对手的某些策略下），策略s_i是一个合理的响应。
- 最佳响应(best response) 玩家i的策略s_i \in S_i是对手策略s_{-i} \in S_{-i}的最佳响应，则: v_i(s_i, s_{-i}) \geq v_i(s'_i, s_{-i}), \forall s'_i \in S_i
- 信念(belief) 一个玩家i的信念就是一个他对手们的可能策略组合s_{-i} \in S_{-i}
- 最佳响应对应(best-response correspondence) 最佳响应对应BR_i(s_{-i})，是玩家i，在他的对手们的策略组合s_{-i}上的所有可能最佳响应的集合。 BR_i(s_{-i})可以认为是一个函数，其结果是一个集合。
- 不是一个最佳响应(never a best response) 玩家i，对于他的对手们的策略组合s_{-i}的最佳响应集合BR_i(s_{-i})，如果s_{-i}不是在信任集合里，则s_i \in BR_i(s_{-i})都不是最佳响应。
总结
方法
- 严格优势策略
- 严格劣势策略的迭代消除(IESDS)
- 去掉不可信的策略组合（或者保留可信的策略组合）。
推论 4.1
如果博弈\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})有一个严格优势策略均衡s^D，则s^D是唯一的严格优势策略均衡。
推论 4.2
如果博弈\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})，s^*是一个严格优势策略博弈，则S^*是唯一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡。
推论 4.3
对于玩家i，一个严格劣势策略s_i，不可能是任何s_{-i} \in S_{-i}的最佳响应。
推论 4.4
在一个有限普通形式的博弈中，s^*是一个严格优势策略，或者是一个唯一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡， 则s_i^*是一个对于任何s_{-i} \in S_{-i}的最佳响应。
断言 4.1
一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。
断言
如果有的话，玩家一定会选择优势策略。
断言 4.2
一个理性玩家，在认为他的对手选择策略s_{-i} \in S_{-i}时，总会选择s_{-i}的最想响应。
断言
一个理性玩家只会选择(他对手们的策略组合的)最佳响应。
参照
- Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
- 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
- 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间
- 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识