败家还是持家？看你懂不懂购物算法！

人生的很多选择都是在充满不确定性时做出的。当面对这些选择时，你需要用到手头的所有信息来做明智的选择。不论是娱乐消遣还是现实生活，许多概率问题都与如何选择最佳概率有关。

亚马逊在线商店有一个功能叫做“金盒子”。当你点击进去的时候,里面会有十种不同类型的商品，从书籍到DVD，从厨具到“松下ER411NC鼻毛和耳毛修剪器”。每一次都只会出现一种产品，当你决定是买或者跳过之后，才会出现下一种产品，以前当你决定买下一款产品时剩下的产品就不会再展示了；但是现在你可以随心所欲选择多件产品，只是你依然不能回看之前的产品和修改订单。假设你现在不多不少只需买一件产品。

那么你该采取什么策略才能将赢的概率最大化，也就是买到最优惠的产品呢？

我认为“最优惠产品”指的是你看到了全部的十件优惠产品,然后按优惠的程度从高到低排列，然后买最优惠的产品。但是现在的问题就在于你每次只能看到一个，而且要立刻决定是买还是跳过。我们该怎么办呢?

假设你采用的是缺乏耐心的策略——总是买第一件产品。所有的产品都是随机排列，你有10%的机会选到最优惠的产品。

假设你采取的是犹豫不决的策略，每次都看完所有十个产品，然后只能选择最后一个产品，这时你依然有10%的机会选到最优惠的产品。

假设你采取的是随机的策略，随意在第一个产品和第十个产品中挑一个产品，然后买下。这时你选购最优惠产品的概率依然是10%。

那么有更好的方法吗?

当然有。首先看完前五个产品，从中选择一个最优惠的产品，将它称为目标产品。然后继续看接下来的产品，如果发现有一个产品比这个目标产品还要优惠，那么就买下它。如果剩下的五个产品没有一个比目标产品还要优惠，那说明目标产品就是最优惠的产品，但你却错过了它，不得不买最后一个产品。

如果你采取这种购物策略的话你赢的概率就是25%。因为如果次优惠产品在前五个产品中，最优惠产品在后五个产品中你就能保证成功。次优惠产品在前五个产品中的概率是5/10＝１/2(因为最优惠产品在任何位置出现都是等可能的)。在这个前提之下，最优惠产品在后五件产品中的概率是5/9(剩下的９个位置中出现最优惠产品都是等可能的)。两个事件同时发生的概率需要利用乘法原则计算条件概率，即Ｐ(第二优惠产品在前五个产品中，最优惠产品在后五个产品中)＝1/2×5/9=5/18≈0.28 这个数字显然要比0.25大。

事实上赢的概率会比上述计算出来的更大，因为这并不包含你所有能赢的方式。比如说，当最优惠选择是第六件产品，而第二优惠产品在第七件至第十件产品之间，在这种情况你也会赢。还存在其他赢的情形。当然最优惠的产品必须在后五件产品之中，而且不会被之后将会出现的产品超过，你才会赢。你可以通过列出所有赢的情形来计算这个概率，但是这也太无聊了。你可以设定一个小一点的数字，比如说四种产品，然后再列出来所有赢的情形。当有四种产品时一共有4！=24种排列产品的方式，你可以数出来所有赢的情形。你可以用跳过“前面一半” 的策略(比如，从1到4的产品中，1号产品是最优惠的产品，在4321、3412等类似情形下都会赢)。你会得出赢的概率是10/24。

假设现在不止有十件产品可以选择，而是有一百件产品可供选择。你还是用这种策略:先找出前五十种产品中最优惠的产品，然后再看接下去的产品，当有产品比这个目标产品更优惠时就选择这个产品。当目标产品是次优惠产品，而最优惠产品是在后五十种产品之中的情况，这种情况下你一定会赢。此时赢的概率是50/100×50/99＝25/99，比1/4(等于25/100) 要大一些。在其他情况下你可能也会赢，但是赢的概率会低于25%。 这让你意识到不论一共有多少种产品供选择，你选到最优惠产品的概率会维持在一个水平不变。即使有一百万种选择，你可以在前五十万种产品中选择一个最优惠的目标产品，然后再依次看后五十万种产品，当出现比目标产品更优惠的产品时买下它。这时你赢的概率依然是低于25%的。看起来机会挺大了，但这依然不是你可以做出的最佳选择。

有一个更好的策略:在前37%产品中选择最优惠的产品，再接下来的产品中有比这个产品更优惠的就买下来。那么此时你赢的概率是37%。这个策略是最优策略；其他策略再复杂也不可能让你赢的概率更高。当可供选择的产品越多就越接近37%。 在“金盒子” 问题中，10的3.7%是3.7，所以你得到的结果是4。

这个问题是概率学中的经典问题，它常常出现在公主如何在一群求婚者中挑出最优秀的人，或是王子如何挑选出嫁妆最丰厚的新娘。（微信中回复“算法”，即可阅读奇文《波斯公主选驸马：关于算法和重大决策》）

编后语：尽管我们总是去试图寻找最佳策略，但在现实中往往被乱花迷乱了双眼，在众多选择面前犹豫不决，反而错失良机、美物…又或者有的时候根本不是选择的问题，就好像那些个经典的老梗——小时候，我经常纠结：长大后，是上清华好，还是上北大好呢？长大后，我才发现，我真的想太多了…神马选择恐惧症？还不是因为穷%>_<%

摘自：《生活中的概率趣事》

出版社：机械工业出版社

作者：彼得·欧佛森（Peter Olofsson）博士，数理统计方向，哥德堡大学，瑞典斯德哥尔摩皇家技术学院教授。美国三一大学数学系教授兼系主任。他的研究领域包括统计推断，分支过程等。他是美国统计协会，数理统计研究所和瑞典统计协会的活跃成员。曾在多种刊物发表论文并出版相关书籍。