数学不好？可能是你看待数学的方式不对：关于数学的心理表征

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编译团队 | Arcturus 卫青

对于你来说，数学是什么样子的？是由彼此关联的理念所构成的宏伟蓝图，亦或是一大堆混乱的符号组合？这两者的区别影响极大，因为你对数学的看法与你在数学这门课上的成功有着千丝万缕的联系。

我们都十分熟悉乘法表，它在全世界的课堂教育和家庭教育中都占据核心地位。

标准乘法表

你无法从这幅图中挑出任何毛病。这一表格相当直截了当：看起来就像一连串彼此独立的，事实真理的矩阵集合。它一直被反复地学习、记忆和回顾。然而，在受过训练的人眼中，这一表格的展示方法和表格结构可以是多种多样的。就好像在黑客帝国中，塞佛看到的从来不是代码一样，在数学家从表中看到的夜不仅仅只是100个独立的数字那么简单。

可能他们看到的是这样的：一个按比例的乘法网

基于面积的乘法表

通过这一简单的调整，抽象的乘法表一下变得形象起来。不仅仅只是将数字转化为尺寸和比例，通过用几何的方法表示数字，用面积表示乘法，它将原本彼此独立的概念彼此联系了起来。

通过合理运用颜色，我们能得到一种不同类型的结构：以下图为例，乘法表可以被看成较小的乘法表的嵌套集合。

给乘法表添加一些颜色

每一层的形状和大小可以带来一些新的认知。总的来说，它将原本的知识以一种全新的方法展示出来：你能看出为什么前n个奇数之和等于n²吗?

拥有正确的心理表征是发掘你数学潜能的关键

Malcolm Gladwell在《异类》一书中宣称，通往大师的路需要一万个小时的练习，然而这一理论过于粗略和简单。《刻意练习：如何从新手到大师》的作者Anders Ericsson在书中给出了自己自主研究的研究过程。他强烈谴责Gladwell随意定下的一万小时定律（不同学科之间乃至学科内部都存在巨大的差异）。更重要的是，Gladwell并没有意识到不同练习方法所带来的影响。而Ericsson的研究以及他书里的核心思想，都是以刻意练习这一原则为前提的。

刻意练习最大的贡献在于它能帮助我们建立的心理表征：那些在我们长期记忆中早已存在的信息模型。

心理表征越强越多，我们越容易将其运用于连接思想、发展直觉和解决问题之中

心理表征可以帮助我们建立对数学的整体看法。心理表征越多，效果越好。透过简练的标题，AdamGrant在《离经叛道》一书中勾画出了关于天才们创造性的关键特征。其中一个特征就是：当他们接手任务时，往往能形成更多的想法。在数学学习上同样试用：你想到的解决问题的方法越多，解决问题的可能性就越高。而这些想法源于我们的心理表征。

但是就像不是所有的练习都能带来相同的效果一样，有些心理表征比其他的更强势。这解释了为什么很多离开学校的人能熟练使用乘法，却缺乏对数字的敏感和直觉。他们的心里表征更多注重“记忆”而不是“理解”。当学生们把乘法的结果作为彼此独立的结论集合来记忆时，他们很难把这些东西与更广泛的数学主题联系起来。最好的数学家们往往把乘法理解为彼此关联，丰富多彩的概念中的一部分。对他们来说，理解越深，使用越得心应手。

只有我们的心理表征不强时数学才会显得没有生命

素数在课程安排中并没有得到应有的重视。对于很多人来说，素数被简单理解为只拥有两个约数的数字集合；课程大纲上的一个知识点；或是用来帮助计算最大公约数、最小公倍数以及考试中常见的一些其他值。然而，对于数学家来说，素数被称为数学学科的DNA。这个生物学比喻背后是有原因的，不是因为偶然或者无聊而给的。

算术基本定理告诉我们，每个整数都可以唯一分解为素数的乘积。越是专注于这个定理，越能体会的素数的意义非凡。这个定理是如此的恰到好处，甚至蒙上了一层神秘色彩，从而衍生出了那些数学上最难被解决的问题（例如：黎曼猜想）。

感受素数的独特魅力并不只是专业的数学家们的特权。通过建立正确的心理表征，我们也能感受到素数那令人兴奋、好奇以及困惑的惊人魅力。下图展示了1-100数字表，可能你从来没见过这样的形式，向图片的作者DanielFinkel致敬：

Daniel Finkel所创的包涵素数概念的1-100数字表

正如Finkel本人所建议的，要让这个网格生动形象起来。探索它的模式，把玩它的结构，深入了解乘法以及感受素数在乘法表中的主导地位。

如果在学校里数学对你来说仅仅一大堆毫无意义的符号，那么恭喜你，这里有一个迷人的、完全不同的世界在等着你。数学充满了丰富多彩的心理表征，这些心理表征能帮助我们理解并建立不同概念和知识间的联系。这也是数学家们沉迷数学的原因。