如何使用湖泊估算地球半径？

来源：译言网 译者：authorliu 网址：http://select.yeeyan.org/view/192628/249599

重复经典实验总是一件很酷的事。我们之中有多少人会靠自己得出地球半径呢？我不会，至少到现在还不会。我只是相信别人得出的地球半径值。但是，如果古希腊人能算出地球半径，为什么我就不能呢？

你没听说过庞特查雷恩湖吧，这是一个位于新奥尔良北面的大湖泊。该湖泊有若干重要的特征（这些特征对我很有用）：

1. 它有一条长堤，它长24英里，横跨该湖泊。
2. 该湖泊的湖面非常平静，很少起波浪。
3. 湖的北岸有一片很好的沙滩。这片沙滩的重要性仅在于，让我有了用武之地。

所以，有一天我去那里游玩。我注意到一些事。这里有两张相片。一张是在离湖面上方很近处照的，另一张是在水面上方眼睛高度上照的。

我注意到的第一件事是长堤在远处一点上隐没到水面下。长堤隐没的该点的位置决定于照相机（或眼睛）的高度。怎么会这样呢？因为地球是个圆球。此外，你会看到，开合桥（吊桥）显得更高，离你更远。应该指出的是，在这一观察位置，长堤斜着远去。越向左行，长堤显得越远。见下图。

红色箭头表示照相机的位置，另一个黄色定位销表示吊桥。长堤显示为一条南北向的直线。但是真正的问题是，如果知道长堤与我之间的距离，我能据此距离算出地球半径吗？那可酷毙了。但是从哪里着手呢？请看下图。

这是什么乱七八糟的东西。我来告诉你，这是我和该桥的一幅侧视图，示出长堤隐没于水平线下的地点，其中：

1. h1为照相机在水面上方的高度。
2. h2为长堤在水面上方的高度。
3. x1和x2为照相机和长堤与可见水平线之间的距离。

设图中弧长（如s1）与直线距离（x1）大致相等。显然，严格说来这并不准确，不过也差不了多少。

如此，从该图得到两个巨大的直角三角形。使用毕达哥拉斯定理得出：

可以看出，斜边为h1+R。然后R可表为：

马上检查一下该表达式中各项的长度单位是否一致。此外，如h1大于x1，半径的值会是负数。这没错，因为如高度大于与水平线之间的距离，就不是在求解该问题了。

接着同样处理另一边的直角三角形，得出：

实际上我并不知道x1或x2的值。但我知道它们的和，即我与长堤之间的距离。设该距离为d，得出；

用此表达式消去第一表达式中的x1，得出

使用这一表达式和R的另一表达式 可算出x2：

对不起，你们必须看这一串等式，但这是少不了的。因为，如我最后得出结果根本不靠谱，你们可知道我是在哪里出了错。至少长度单位是一致的。哦，我还没得出地球半径呢。但我至少已把它表示为一个可使用的二次方程了。我甚至还没准备好计算x2。

如能算出x2，就能用前面的方程式算出R。x2两个值中的一个可能与实际情况不符。

估计值

那么需要哪些数据呢？首先得知道d――我与隐没于水中的长堤之间的距离。尽管在实际生活中这很容易看到，但在我的相片中可看不出这个距离。但可求助于吊桥，因为吊桥的位置是不变的。照相机在水面上方约10cm处时吊桥顶部消失。吊桥离我的距离可用谷歌地球确定为d=11，400m。

那吊桥的高度是多少呢？介绍该长堤的官方网站列出了吊桥的净高为45英尺。这是吊桥合上时的高度。因此，此时吊桥的顶轨在水面上的高度可能为50－55英尺（不计桥塔和很难看到的部位）。设该高度（h2）为16m。

好，有了h1、h2和d就能算出x2的可能值了。

结果

我知道你们已等不及了。你们非常想知道地球有多大，以便计划从欧洲去印度的旅程。好吧，算出x2的两个不同值即可得出R的两个不同值：

不太坏吧！地球半径的公认值约为6.38× 106m。如果我的测量能更仔细些，得出的结果也会准确得多。

回家如有时间可进一步做的功课：

1. 用公认地球半径求长堤会在水面上方150cm处照的相片的哪一点上隐没在水中？可设长堤在水面上方的高度为15英尺。
2. 使用谷歌地球的投影图求得长堤路面高度与吊桥高度之比。见下图。
3. 估计各初始值的误差值，据此得出地球半径的误差。这里是另一幅相片。我从吊桥的平面部截得一图，把它粘贴在最高部近旁。这会帮到你。