算法证明：女生遇到心动的男人一定要追！

本文来自知乎网友尼克余

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我来讲恋爱中的博弈，不，我来讲恋爱中的算法，不，我来讲算法！！

有个著名的问题，叫做 stable matching。早年是一个可爱的俄罗斯老头在图论课上教我的，印象非常深刻，拿出来娱乐下大家。因为这个算法应用太广泛了，这个算法的两位发明人 David Gale 和 Lloyd Shapley，在 2012 年因为这个算法获得诺贝尔经济学奖。

先说结论：女生遇到心动的男人一定要追！我马上就要来证明。

前方高能预警！！！含大量数学图论及计算机编程算法知识，萌妹子请直接退散。

假设，有一个平行世界，我们姑且叫这个世界，平行世界 999 号，这个世界有 n 个男人，还有 n 个女人，然后每一个男人，都有一个对喜欢的女人的排序，比如男 A，有一个排序（女 A，女 B，一直到女 N），每一个女人都有一个喜欢的男人的排序，比如女 A，有一个排序（男 A，男 B，一直到男 N）。每个男的都会试图去追求自己的排序里头排的最高的女性，每个女的都会接受自己排序里头最高的男性的追求。

再假设这个平行世界 999 号，有以下追求方法（算法）：

1. 这个世界上只有男人能够追求女人，女人收到一个男人的追求，可以选择说“你做我男友吧”，或者“你滚犊子”。当女人说“你做我男友吧”的时候，这个男人和女人进入了男女朋友模式，当女人说，“你滚犊子”的时候，这个男人回复单身。

2. 每个男人只能在单身的时候追求女人，而每个女人最多只能有一个男朋友

3. 每个男人都会追求自己名单上排位最高的女人，当被拒之后，会追求排位次高的女人，被拒之后再追第三高的女人，以此类推。每个女人，如果没有男朋友，收到追求，会立刻说，“你做我男友吧”，如果有男朋友，会将现有男朋友与追求者比较，选择其中排位更高的，甩掉排位更低的。

4. 每个男人都会锲而不舍的一直把整个排序追求完，直到脱离单身状态为止。

5. 当每个男的和女的都有一个女、男朋友的时候，会所有人一起结婚。

怎样，是不是和现实很像？让我喝口水继续写！

我的结论是，这个世界里头，一定会有这么一个组合，使得，这 n 个男的，和 n 个女的，会形成一个稳定的一一对应的婚姻关系。也就是说，这 N 个男人和女人，都合理的选择了自己名单上最高的排位的那个对象。

我说的有点乱，因为我学的是用英语学的，而我的翻译实在是不咋地，我先来简化问题：

一、假设这个世界上只有 1 个男人，1 个女人：

那不用想了，排什么排，去滚床单，裸奔，过没羞没躁的生活去吧。

二、假设这个世界上有 2 个男人（男 A，男 B），2 个女人（女 A，女 B）：

这就开始复杂了，

如果，男 A 和男 B 的排序都是（女 A，女 B),女 A 和女 B 的排序都是（男 A，男 B）。

那么很简单，男 A 和男 B 一起去追女 A，男 B 迅速杯具，男 A 和女 A 在一起，男 B 和女 B 在一起，故事完结。

如果,男 A 和男 B 的排序都是（女 A，女 B)，女 A 和女 B 的排序都是（男 B，男 A）。

那么也很简单，男 A 和男 B 一起去追女 A，男 A 迅速杯具，男 B 和女 A 在一起，男 A 和女 B 在一起，股市完结。

如果，男 A 的排序是 （女 A，女 B），男 B 的排序是（女 B，女 A），女 A 的排序是（男 B，男 A），女 B 的排序是（男 A，男 B）呢，那怎么办？

那么现在，男 A 会去追求女 A，女 A 会说，“你做我男友吧”，男 B 会去追求女 B，女 B 会说“你做我男友吧”。

于是大家结婚了。

所以现在的组合是，男 A 和女 A，男 B 和女 B。

但是！！！但是！！！

你们发现了问题没有？？？

每个男的都追求到了自己最喜欢的女士，每个女士却只赢得了自己最不喜欢的男士！！！！

这就是这个算法的一个弊端，就是追求者，有占优的可能性。

如果反过来，平行世界 999 里，只允许女人追求男人，会出现下面情况：

女 A 去追求男 B，男 B 会说，“你做我女友吧”，女 B 去追求男 A，男 A 会说“你做我女友吧”。

于是大家都结婚了。

现在的组合是男 A 和女 B，男 B 和女 A。这同样是一个稳定的匹配。

但是！！！但是！！！现在每个女士都追求到了自己最喜欢的男士，每个男士却只赢得了自己最不喜欢的女士！！！

三、推广到 N 男 N 女，也是一样的推论。

简单的说，就是因为这是一个单向筛选，每个男的都会确保会向自己的排序中最高的女性表白。然而男性被“滚犊子”的唯二可能性，是因为这个女性有一个她心目中排序更高的男朋友，或者当了一段时间男朋友，但一个排序更高的男人向她表白。（当然现实中大家也懂，你就是没戏的了，而且是你本来就没戏）

因此，确保了男性一定能追求到自己喜欢的名单里头，排位最高的女性。

也就是说，在这个追求关系里头，主动的那一方更能够找到自己更喜欢的异性，而被动那一方，却没有这样的优势。

所以结论就是，妹子们，遇到喜欢的男人，一定要主动！

via：程序员的那些事(微信ID: iProgrammer)