Bloom Filter 的数学背景
0x00 前言
程序员应该无所畏惧，所以，一起来推导数学公式吧！
上文我们分享了 Bloom Filter 的基本原理和代码实现，在文章的结尾提到了 BF 的误判率以及几个重要参数的选取，我们只给出了最后的公式，而没有具体的推导过程。 这是会被狠狠地挑战的，本着追根刨底的精神，我们推导一下 BF 相关的数学公式。
文章结构
本文会分享关于 BF 的三个知识点：
- 错误率公式的推导
- 最佳哈希函数个数的推导
- BF 的基数估计公式，即如何计算 BF 中的元素个数
0x01 背景补充
错误率
错误率有两种：
- FP = A false positive error, or in short a false positive, commonly called a “false alarm”, is a result that indicates a given condition exists, when it does not.
- FN = A false negative error, or in short a false negative, is a test result that indicates that a condition does not hold, while in fact it does.
对应 BF 的情况下，FP 就是「集合里没有某元素，查找结果是有该元素」，FN 就是「集合里有某元素，查找结果是没有该元素」。
FN 显然总是0，只要集合中有某元素，那么肯定能查到。FP 会随着 BF 中插入元素的数量而增加——极限情况就是所有 bit 都为 1，这时任何元素都会被认为在集合里。
0x02 数学推导
一、误判率怎么来？
假设哈希函数以相等的概率选择位数组中的位置。如果 m 是位数组中的比特数，则在插入元素期间某一特定比特位不被某个哈希函数设置为 1 的概率是：
1-\frac{1}{m}
如果哈希函数的数量是 k，则通过 k 个哈希函数都未将该位设置为 1 的概率是：
(1-\frac{1}{m})^k
那么，如果我们插入了 n 个元素，某个位仍然为 0 的概率就是：
(1-\frac{1}{m})^{kn}
因此这一位的值为 1 的概率就是：
1-(1-\frac{1}{m})^{kn}
那么，BF 的误判率是怎么得出的？前面提到，我们主要关注 FP，即集合里没有某元素，查找结果是有该元素。
现在我们要判断一个元素是否在集合中，假设这个元素本不在集合中，理论上来讲，经过 k 个哈希函数计算后得到的位数组的 k 个位置的值都应该是 0，如果发生了误判，即这 k 个位置的值都为 1，这个概率如下：
p=(1-[1-\frac{1}{m}]^{kn})^k\approx (1-e^{-\frac{kn}{m}})^k
上面的公式就是 BF 的误判率。
注意，上面的证明并不是不是严格正确的，因为它假定每个位的概率被设置为独立性。不过，并不太影响我们对误判率的理解。
二、哈希函数个数该怎么选？
首先，哈希函数的数目 k 必须是正整数。对于给定值的 m 和 n，该如何选择 k 的取值才能使能使误判率 p 最小？这就要用到前面的公式，令 p 的取值为零，即可得到如下表达式：
k=\frac{m}{n}ln2
将 k 的最佳取值带入概率公式，就可以得到误判率 p 和 哈希函数个数 k 的关系：
p\approx(1-e^{-\frac{kn}{m}})^k=(1-e^{-(\frac{m}{n}ln2)\frac{n}{m}})^k=(1-\frac{1}{2})^k
上述公式也可以表述为如下形式：
m=-\frac{nlnp}{(ln2)^2}
或者
k = -log_2p
以上就是关于哈希函数个数 k 的最优化取值的数学推导。
三、如何估计 BF 的元素数量？
下面是维基百科给出公式，这里照搬过来，先不做推导了，感兴趣的可以自己来一遍。
n = -\frac{m}{k}ln(1-\frac{t}{m})
其中 n 是估计 BF 中的元素个数，t 是位数组中被置为 1 的位的个数。
有了能够估计 BF 中元素数量的方式，BF 就可以应用到基数估计的场景中了，这在后面提到 Hyperloglog 等算法的时候会有一些对比。
0xFF 总结
本文参考 BF 的维基百科和几篇经典论文。自己学习并推导一遍还是很能加深印象，公式是自己在 Markdown 中用 LaTeX 敲出来的，十分方便。