Wolfram 语言架起数学与艺术的桥梁

█ 本文译自 Wolfram 高级UI架构师 Christopher Carlson 于2018年1月26日的博客文章:The Wolfram Language Bridges Mathematics and the Arts.

在每年夏天召开的桥梁会议(http://bridgesmathart.org/)中,都会有200多位艺术家、数学家和技术专家欢聚一堂,庆祝数学和艺术之间的联系。在这为期五天的会晤中,大家就从诗歌到雕塑等各种艺术领域的课题进行分享、探索、答疑、建构、演绎和讨论。

对许多与会者而言,Wolfram 语言是他们工作中至关重要的工具,他们用它来探索创意,解决技术细节,设计原型,产生控制生产机器的输出。它广泛应用于雕刻、制图、折纸、绘画、编织、绗缝、甚至烘培中。

我本人多次出席桥梁会议,亲眼目睹 Wolfram 语言在艺术领域的各种应用,在此精选了一些桥梁会议与会艺术家的代表作品供大家赏析。

George Hart

George Hart 以善于根据多面体对称性而创作疯狂纠结的雕塑作品而著称。他借助 Wolfram 语言创作了最近的两件作品,SNO - Ball 和 Clouds:

下面这则视频包含一个 Wolfram 语言动画,展示了如何将 Clouds 的雕塑元素转换成垂直压缩的结构:https://www.youtube.com/watch?v=fayF3Ay9nNQ

Hart 最早的 Wolfram 语言设计之一是1998年为 Northport 公共图书馆创作的 Millennium Bookball: 六十本木制书籍以二十面体对称排列,并由铸铜环连接。 这是该雕塑的 Wolfram 语言设计图和成品照片:

我最喜欢的一个 Hart 作品是"用于 Frieze 花纹饼干的自定义3D打印轧花辊[1]",这是2013年桥梁会议上与 Robert Hanson 合作的一篇论文的基础。 通过一段 Wolfram 语言代码,George 将图像转换为 3D 打印的饼干轧花辊。

这是 Wolfram 语言的绝妙应用,感兴趣的朋友可以亲自尝试一下。我自己用它来制作饼干辊和陶瓷图案的滚筒。 由于 Hart 编写了这个代码,我们增加了对 Wolfram 语言3D打印的支持。 您现在可以使用 Printout3D 将滚筒设计直接发送到远程或本地的3D打印机。

Christopher Hanusa

Christopher Hanusa 是纽约市立大学皇后学院数学系的副教授。并不奇怪,他的设计灵感来自数学概念。他设计并热销的3D打印对象则是完全采用 Wolfram 语言创建的。

哈努萨的设计包括用 Wolfram 语言的网格和区域操作构建的耳环:

……一个用变换图形基元[2]设计的吊坠:

……用 ParametricPlot3D 设计的挂饰:

……用 ParametricPlot3D 制作的蜡烛灯,其中柱体上有趣的花纹采用 RegionFunction 选项设计:

在他的博客 "The Mathematical Zorro" [3] 中,哈努萨介绍了如何用 Wolfram 语言创建自己的设计。 你可以在他的 Shapeways 网店[4] 中看到他的所有作品。

William F. Duffy

William F. Duffy 是一位卓有成就的传统雕塑家,他同时也在探索参数方程的派生形式,以及大型树脂3D打印铸件。 他的许多造型都是由 Wolfram 语言探索产生的。

例如,这里是达菲对一个五次多项式的探索,描述了在弦理论中很重要的卡拉比-丘空间[5]:

Duffy 在 Mathematica 中绘制了这个函数的一个例子,用树脂3D打印成型,并用这个打印模型制成模子,从而铸造出青铜雕塑。 左边是一个石膏水泥测试铸件,右边是用硫化钾制成的青铜雕塑:

受 Simons Center for Geometry and Physics (http://scgp.stonybrook.edu/)之托,达菲创造了左侧的对象,这是一个注入青铜的不锈钢3D打印品。 右侧的对象是由相同的源文件创建的,但采用尼龙打印:

达菲仍在继续探索复平面函数作为雕塑结构的来源:

Duffy 更多的传统和数学作品将会在他的网站上发布。

Robert Fathauer

Robert Fathauer 使用 Wolfram 语言来探索各种现象,包括具有负曲率的分形结构,这些结构让人联想起自然形式。 这种形式的打印在2013年桥梁会议的艺术画廊中展出:

Fathauer 将他所探索的精心手工制作的陶瓷形式变成现实,这些作品让人联想起珊瑚和海绵:

Fathauer 用 Mathematica 设计的一个陶瓷作品由511个立方元素组成。下面是 Wolfram 语言模型及其陶瓷雕塑在烧制之前的图片:

遗憾的是,这个雕塑在烧制过程中发生了爆炸,因此未能真正问世,这也是Fathauer 认为的一桩痛苦经历。 但是这个结构,以及其他一些用 Wolfram 语言设计的分形结构,可以在 Fathauer 的 Shapeways 网店[6]中找到。

Martin Levin

Martin Levin 制作的模型完美得无懈可击,揭示了世界的各种结构——掌控3D空间可能性和不可能性的距离、角度和拓扑关系:

借助 Wolfram 语言,他能够展现人们在生活中看不到或几乎看不到的东西,这对他的工作产生了最大的影响。 这个连接管状部件的小型连接器是使用 Wolfram 语言设计并进行3D打印的:

Levin 目前正在设计3D打印模块,可以组装成五个四面体复合件的塑料青铜铸件:

铸件的完成品应该看起来像这样(但经过镜像反转):

Henry Segerman

Henry Segerman 在他的著作 Visualizing Mathematics with 3D Printing [7]一书中,用 Wolfram 语言代码进行了很多探索。 虽然书中多是明确的数学图形,但大多具有一个不可否认的美学吸引力。 以下图片是他对拓扑曲面的初步探索……

……由此产生了他在 Shapeways 的网店[8]的3D打印体:

美丽的阿基米德尖塔[9]……

……首先采用 Wolfram 语言代码模拟:

除了数学模型之外,Segerman 与 Robert Fathauer 共同创作的的异国情调的骰子[10],其几何形式从 Wolfram 语言代码开始——大部分来自Wolfram MathWorld 的条目"Isohedron"[11]:

Elisabetta Matsumoto

Elisabetta Matsumoto 用 Wolfram 语言不仅成功构建了令人身临其境的虚拟双曲空间,还将高等数学变成优雅的珠宝饰品。 这件作品需要满屏的数学代码才能描述,它是最早发现的最小曲面[12]之一——Scherk 第二曲面[13]的惊鸿一瞥:

作为双曲空间主题的延伸,下面是一件 Matsumoto 的 Wolfram 语言设计品,这是2D而非3D:

可以前往 Matsumoto 在 Shapeways 的网店[14]看到她更多的珠宝设计。

Koos & Tom Verhoeff

Koos 和 Tom Verhoeff 是一对父子,两人长期以来一直使用 Wolfram 语言来探索各种雕塑形式,了解斜接头几何形状和扭转约束的复杂性,以使 Koos 能够将他的雕塑图纸变成现实。 他们的作品多种多样,从缠结、树木、到木材、金属板和铸造青铜中的格子。 以下是他们的一些代表性作品以及底层 Wolfram 语言模型,全部主题来自 Bridges会议论文。

斜接博罗梅安环的三个雕塑家族(Three Families of Mitered Borromean Ring Sculptures)[15]:

斜接分形树:构造和属性(Mitered Fractal Trees: Constructions and Properties) [16]:

菱形折叠条,以及2 : 1菱形平方根的请求(Folded Strips of Rhombuses, and a Plea for the Square Root of 2 : 1 Rhombus)[17]

Tom Verhoeff 的 YouTube 频道提供了许多 Wolfram 语言视频,其中一个显示了上述最后一个结构是如何从菱形条形成的。

2015年,在海德堡大学 Mathematikon 院里竖起了三座 Verhoeff 雕塑。 每一座都以雕塑形式提炼出一个或多个数学概念。这些设计都是使用 Wolfram 语言实现的:

您可以在2016年桥梁会议论文"Mathematikon的三座数学雕塑"[18]中,找到这三座雕塑的有关数学概念的详细信息。

Edmund Harriss

Edmund Harriss 与 Alex Bellos 合作出版了两本畅销的思考者着色书:Patterns of the Universe [19] 和 Visions of the Universe [20]。 书中充满了数学的图形之美以及创意的冲动。 Edmund 用 Mathematica 创造了他的图形,用 Wolfram 语言对可以富有成效地探索的各种现象致敬:

Loe Feijs & Marina Toeters

Loe Feijs 和 Marina Toetters 将新技术应用于传统编织模式:小犬牙和千鸟格纹(英文称 puppytooth、houndstooth 或 pied-de-poule)。 使用 Wolfram 语言代码,他们成功实现了元胞自动机,其模式倾向于并保留犬牙模式:

通过向自动机添加随机元素,他们生成隐含犬牙的半随机模式的编织作品:

这则视频描述了他们的犬牙作品:https://www.youtube.com/watch?v=e2Zir3UcUwc&feature=youtu.be

更多细节可以参见他们在2017年的桥梁会议论文,A Cellular Automaton for Pied-de-poule (Houndstooth) [21]。

Caroline Bowen

说到从数学函数到艺术表现形式的转化,你很难再找到比 Caroline Bowen 的分层有机玻璃作品更直接更有代表性的了。而她的工匠精神和美学选择使其作品超越了单纯的数学模型。

她在2016年桥梁会议中展示的两件作品[22]受到了 SliceContourPlot3D 参考文档[23]中的示例启发。 所有这些图片都是使用 Mathematica 的轮廓绘图函数创建的:

在2017年,Bowen 展示了一个相似的分层作品[24],用颜色表示复值函数 ArcCsch [z4] + Sec [z2]的实部和虚部,以及函数的极点和分支切割:

Jeannine Mosely

折纸艺术家 Jeannine Mosely 用 Wolfram 语言设计了她的一些折纸折痕图案。 在有些情况下,例如这些镶嵌图案的折痕需要积分的数值解,Wolfram 语言是必不可少的:

Mosely 使用 Wolfram 语言函数的参数化设计创建了这些花蕾的变体:

如果您想尝试自己的花蕾,Moseley 在此提供了一个模板和说明:http://blog.wolfram.com/data/uploads/2018/01/Bud-Instructions.pdf

Helaman Ferguson

Helaman Ferguson 的 巨型 Umbilic Torus SC 雕塑的设计和制作是2012年桥梁会议中与他的妻子Claire合作撰写的一篇论文,题目为"Celebrating Mathematics in Stone and Bronze: Umbilic Torus NC vs. SC."[25]。

这篇论文详细描述了雕塑的制作(下图1),这是一个史诗般的工程,需要建造一个龙门机器人以及144块各为1吨重的砂岩块。 雕塑的表面带有希尔伯特曲线,这是一条贯穿整个表面的单一线条,这里显示的是较早版本的较小版本雕塑的照片(下图2):

希尔伯特曲线不只是表面装饰,也是雕刻铸模曲面的球头切割工具留下的标记。 表面纹理中的脊线是切割工具相邻切割之间留下的峰。

Ferguson 用 Mathematica 攻克了模拟希尔伯特曲线工具路径和生成控制数控铣床的G代码的任务:

Christopher Carlson

我本人也多次参加桥梁会议,几乎每天都会使用 Wolfram 语言来探索图形和雕塑的各种创意。 我个人比较满意的一个项目是2015年桥梁大会上与Theodore Gray和Nina Paley合作发表的论文"Algorithmic Quilting"[26]的基础。

这篇文章介绍了一种算法,我们用它来生成各种各样的被面单线填充。 从点的分布开始,我们在这些点上绘制一个图,从中提取一棵生成树,并通过在树周围进行追踪来渲染填充:

我们通过基于 Eadweard Muybridge 的奔马运动研究[27]中的帧为被子生成各种背景来测试算法:

以下是由被面的帧做成的动画:


如果你是一位艺术家、设计师或建筑师,在工作中使用 Wolfram 语言进行创作,我们很想了解你的工作。如果你在寻找和你志同道合的数学艺术家,我们也有他们中很多人的联系方式。无论哪种情况,欢迎发电邮至 artists@wolfram.com 与我联系。

参考资料

1. http: // archive.bridgesmathart.org/2013/bridges2013 - 311. pdf

2. http://reference.wolfram.com/language/guide/SolidGeometry.html

3. http://blog.mathzorro.com/

4. https://www.shapeways.com/shops/mathartshop

5. http://mathworld.wolfram.com/Calabi-YauSpace.html

6. https://www.shapeways.com/shops/fathauer

7. https://www.amazon.com/Visualizing-Mathematics-Printing-Henry-Segerman/dp/142142035X/ref=sr_1_ 1?ie=UTF8&qid=1515703367&sr=8-1&keywords=henry+segerman

8. https://www.shapeways.com/shops/henryseg?section=Gears&gclid=EAIaIQobChMI-MiM8ffQ2AIV2rrACh0i6Q2zEAAYASAAEgJpaPD_BwE

9. https://www.shapeways.com/product/NMDZMBJ7F/archimedean-spire?optionId=187271&li=marketplace

10. http://thedicelab.com/

11. http://mathworld.wolfram.com/Isohedron.html

12. https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_surface

13. http://mathworld.wolfram.com/ScherksMinimalSurfaces.html

14. https://www.shapeways.com/shops/sabetta-s-mathematical-creations

15. 15http://archive.bridgesmathart.org/2015/bridges2015-53.pdf

16. 16http://archive.bridgesmathart.org/2012/bridges2012-25.pdf

17. 17http://archive.bridgesmathart.org/2013/bridges2013-71.pdf

18. 18http://archive.bridgesmathart.org/2016/bridges2016-105.pdf

19. 19https://www.amazon.com/Patterns-Universe-Coloring-Adventure-Beauty/dp/1615193235

20. 20https://www.amazon.com/Visions-Universe-Coloring-Journey-Mysteries/dp/1615193677/ref=pd_lpo_sbs _ 14_img _ 0?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=PGTRYZ5SS14H3MF04T8F

21. http://archive.bridgesmathart.org/2017/bridges2017-403.pdf

22. http://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions/2016-bridges-conference/cbowen

23. http://reference.wolfram.com/language/ref/SliceContourPlot3D.html

24. http://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions/2017-bridges-conference/eigenstuff

25. http://archive.bridgesmathart.org/2012/bridges2012-17.pdf

26. http://archive.bridgesmathart.org/2015/bridges2015-231.pdf

27. https://en.wikipedia.org/wiki/Sallie_Gardner_at_a _Gallop

原文发布于微信公众号 - WOLFRAM(WolframChina)

原文发表时间:2018-02-14

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