为对称矩阵A的特征值,复向量x为对应的特征向量,即
因为x不同于0,所以
为实数,所以齐次线性方程组
是实系数方程组,由
知必有实的基础解析,从而对应的特征向量可以取实向量。
是对称矩阵A的两个特征值,
是对应的特征向量,若
则
正交
证明
是A的特征多项式的r重根,则
的秩
从而对应的特征值
恰有r个线性无关的特征向量
其中
是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。
证明 设A的互不相等的特征值为
它们的重数依次为
根据之前定理,对应特征值
恰有
个线性无关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得
个单位正交的特征向量,由
知,这样的特征向量共可得n个。 对应于不同特征值的特征向量正交,故这n个单位特征向量两两正交。以它们为列向量构成正交矩阵P,则
根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵,其具体步骤为: 1、求A的特征值
2、由
求出A的特征向量 3、将特征向量正交化
4、将特征向量单位化