
 非奇异,则存在正交矩阵P和Q，使得


 为实对称正定矩阵，于是存在正交矩阵Q使得，


 又因A非奇异，则Ax不等于0，所以

%E6%B3%A8%E6%84%8F-%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9A%84%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E6%B2%A1%E6%9C%89%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%80%A7%E8%B4%A8

注意 一般的对称矩阵的特征值没有这个性质

称式（3）为正交矩阵A的正交对角分解



 是对称矩阵，且其特征值是非负实数。（参照上面的证明）
 2、



 具有相同的解，解空间秩为r,所以相等，都为n-r
 3、设

%E5%AE%9A%E4%B9%89-%E8%AE%BEA%E6%98%AF%E7%A7%A9%E4%B8%BAr%E7%9A%84mxn%E5%AE%9E%E7%9F%A9%E9%98%B5%EF%BC%8C

定义 设A是秩为r的mxn实矩阵，  
 

%E5%A5%87%E5%BC%82%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%AE%9A%E7%90%86

%E8%AE%BEA%E6%98%AF%E7%A7%A9%E4%B8%BAr(r%3E0)%E7%9A%84mxn%E7%9A%84%E5%AE%9E%E7%9F%A9%E9%98%B5%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%AD%98%E5%9C%A8m%E9%98%B6%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5U%E4%B8%8En%E9%98%B6%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5V%EF%BC%8C%E4%BD%BF%E5%BE%97

设A是秩为r(r>0)的mxn的实矩阵，则存在m阶正交矩阵U与n阶正交矩阵V，使得  
 

%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E8%AE%BE%E5%AE%9E%E5%AF%B9%E7%A7%B0

的列向量是两两正交的单位向量，可以将其扩充为m列正交矩阵

矩阵奇异分解奇异值分解定理。证明 因为A非奇异，所以 为实对称正定矩阵，于是存在正交矩阵Q使得， 设x为非0特征向量，因为 注意 一般的对称矩阵的特征值没有这个性质 的列向量是两两正交的单位向量，可以将其扩充为m列正交矩阵 

定理 设  
 

 非奇异,则存在正交矩阵P和Q，使得

 其中

 证明 因为A非奇异，所以

 为实对称正定矩阵，于是存在正交矩阵Q使得，


 为
的特征值

 设x为非0特征向量，因为

 