非奇异,则存在正交矩阵P和Q,使得
其中
证明 因为A非奇异,所以
为实对称正定矩阵,于是存在正交矩阵Q使得,
为
的特征值
设x为非0特征向量,因为
又因A非奇异,则Ax不等于0,所以
令
P为正交矩阵,且使
称式(3)为正交矩阵A的正交对角分解
1、设
则
是对称矩阵,且其特征值是非负实数。(参照上面的证明) 2、
证明
具有相同的解,解空间秩为r,所以相等,都为n-r 3、设
则A=0的充要条件是
证明:
的特征值为
则称
为A的奇异值
其中
为矩阵A的全部奇异值
的特征值为
存在n阶正交矩阵V使得
将V分为r列与n-r列
则
设
的列向量是两两正交的单位向量,可以将其扩充为m列正交矩阵
这里U是
的特征向量