矩阵奇异分解奇异值分解定理

定理 设

非奇异,则存在正交矩阵P和Q,使得

其中

证明 因为A非奇异,所以

为实对称正定矩阵,于是存在正交矩阵Q使得,

的特征值

设x为非0特征向量,因为

又因A非奇异,则Ax不等于0,所以

注意 一般的对称矩阵的特征值没有这个性质

P为正交矩阵,且使

称式(3)为正交矩阵A的正交对角分解

引理:

1、设

是对称矩阵,且其特征值是非负实数。(参照上面的证明) 2、

证明

具有相同的解,解空间秩为r,所以相等,都为n-r 3、设

则A=0的充要条件是

证明:

定义 设A是秩为r的mxn实矩阵,

的特征值为

则称

为A的奇异值

奇异值分解定理

设A是秩为r(r>0)的mxn的实矩阵,则存在m阶正交矩阵U与n阶正交矩阵V,使得

其中

为矩阵A的全部奇异值

证明:设实对称

的特征值为

存在n阶正交矩阵V使得

将V分为r列与n-r列

的列向量是两两正交的单位向量,可以将其扩充为m列正交矩阵

这里U是

的特征向量

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