线性代数：一切为了更好的理解

线性代数是数学工具 掌握它，打开数学的另一扇大门

1：声明

非原创，笔记系诞生于10年前的孟岩先生的《理解矩阵》篇。

原文链接：===> 是它，就是它，杀死它

为什么会今天被我看到，进而进行了整理。

因为，此刻，线性代数已经不再是用来应付考试的一门普通数学科目。它已经成为了阻碍继续精进的巨大“石块”，所以需要移去。问题转换成为了主动遇到的问题。

回过头可以再继续看任何一本线性代数教材：线性空间与线性变换篇。

此刻线性代数没能成为你的问题的话，看这篇笔记的收获并不会很大。

系学习编程技术的“小学生”，有错误欢迎斧正。

下面的笔记整理系知识点的说明. 主要的内容：

• 空间
• 线性空间，基
• 向量
• 矩阵，矩阵乘法
• 变换，线性变换
• 相似矩阵

2：空间

2.1： 坐标系

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概念：在参照系中，为确定空间一点的位置，按规定方法选取的有次序的一组数据，这就叫做“坐标”. 作用：为了说明质点的位置、运动的快慢、方向等

说明：最为常见的是数学中建立坐标系解决几何问题，假如我们在A4纸面上进行建立坐标，原则上，建立原点，纸面上的另一个点都能进行用坐标点进行描述。

2.2：三维空间

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概念：三维空间：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。而且日常生活中使用的“三维空间”一词，常常是指三维的欧几里德空间。

特征：

• 存在很多位置点
• 位置点存在相对关系
• 空间点可以定义长度，角度等
• 这个空间点可以从一个点移动(变换)到另一个点

2.3：空间与线性空间

孟岩先生认为：空间中最重要的特征是：可以存在一个点移动(变换)到另一个点。

“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。

空间是一个对象的集合，集合元素对象间可以存在某些相互变换关系。

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• 线性空间 线性空间是上述定义空间中的一种，也存在上述的特征。 线性空间中任何一个对象，选取基和坐标，可以用向量的形式进行表示。

正规的数学中对线性代数的定义：

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• 线性空间是一个对象的集合
• 线性空间元素对象中存在相互关系(加法，乘法)

引出问题：线性空间中的任意元素如何表示？

• 基： 数学定义：

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在二维空间中举的坐标的例子，可以看做是A点移动到B点位置的时在坐标系下的表示为B点的坐标值,一方面B点可以表示二维坐标系中的一个点坐标，同时可以表示为点A坐标的变换后在坐标系中的表示。这种变换我们使用了数量关系2达到了实现。

上述基术语的定义指出了线性空间中的任一元素要表示出来需要基，但是基的定义不唯一，但元素间需要符合线性无关的性质

引出问题：那么线性空间元素间的关系如何表示？

在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。

孟岩先生认为：矩阵的本质是运动的描述 这种运动并不值连续意义上的运动，而是指某种“跃迁”.而这种跃迁的形式在线性代数里指：线性变换

2.4：线性变换

线性变换指的空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。

那么谁来表示这种变换的形式呢？ 矩阵：是线性空间里变换的描述形式。 梳理下思路：

• 基是一组向量，可以看成是线性空间的坐标系(类比二维空间坐标系的建立不唯一，所以基也不唯一，二维，三维坐标轴相互垂直，类比组成基的向量线性无关)

• “矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”(类比上述例子中坐标点A和B的转换关系是2倍的关系，这个2描述的就是二维空间点坐标变换的形式，多维空间是矩阵形式。)

• 由于基的不唯一性，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

如何表示出同一线性变换的描述形式呢？

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再次举例：

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实际上这两个点的位置并没有发生变换,仅仅只是坐标系的变换。

下述矩阵以方阵为例：

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上述讲述的其实是相似矩阵，这表示的是同一个线性变换的不同的描述矩阵。

矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。

• 基变换

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可以理解为矩阵把两个向量之间进行了连接。基于此，可以实现不同坐标之间的变换。

2.5：再次理解矩阵

矩阵乘法

给出结论：

矩阵描述了一个坐标系。 “运动等价于坐标系变换”。 “对象的变换等价于坐标系的变换”。 “固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。”

比如：

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上述式子可以理解为：“有一个向量，它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为A，那么它在坐标系I的度量下，这个向量的度量结果是B。”

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上述式子可以理解为：“在M坐标系里量出来的向量A，跟在I坐标系里量出来的向量B,是同一个向量。

那如何度量坐标系M中向量A在I单位坐标系下的度量：

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3：总结

希望不要被误导了... 可以这么理解线性代数中关于矩阵，线性空间，线性变换等的概念

但是：上文只是帮助理解，却实际上解决不了你的实际遇到的问题，在理解层面上再继续使用线性代数工具吧...