写给大家看的机器学习书【Part3】直观易懂的感知机学习算法PLA
写给大家看的机器学习书【Part3】直观易懂的感知机学习算法PLA
作者：徐晗曦 原文：写给大家看的机器学习书（第三篇） https://zhuanlan.zhihu.com/p/25358695 前文： 【Part1】什么是机器学习？机器学到的到底是什么？ 【Part2】训练数据长什么样？机器学到的模型是什么？
这个系列文章，我将试着为开发工程师，产品经理、设计师、所有希望了解学习机器学习的人，介绍机器学习的原理、方法和实战技巧。
本篇综述
前两篇我们已经学习了机器学习的概念和组成：
学习算法 (Learning Algorithm) 根据训练数据，从假设集合 (Hypothesis Set) 中选出最优的那个映射g : χ → Y 作为最终学得的模型，使得 g 越接近 f 越好（ g ≈ f ）。
这一篇，我们要具体地讲一个学习算法，把它用在有好货这个场景，看看这个算法到底是怎么样从用户日志中寻找规律，学得模型的。一旦学得模型以后就可以对未来做出预测 —— 预测用户是否会点击某个商品，预测人生的巅峰、世界的和平、一起学习机器学习的女朋友…
这个学习算法的名字叫 PLA，全称 Perceptron Learning Algorithm。其中 Perceptron 译作感知机，它是人工神经网络中最基础的两层神经网络模型。学好Perceptron Learning Algorithm，你离入门人工神经网络也就不远啦。
具体来说，这一篇我们将首先介绍PLA的假设集合，看看PLA的假设集合中等着被挑选的候选函数长什么样。看过PLA假设集合的函数表示之后，重要的是理解PLA假设集合的直观解释，事实上之所以把PLA作为第一个学习算法，就是因为它有着非常直观的理解方式。
接着将看到PLA的细节，PLA 是一个相当简洁的算法，算法过程仅有4步，我写的Python 编码含注释不到30行。学习PLA的重点应该放在理解PLA算法的第三步，理解PLA之所以被设计成这样，背后的含义其实朴素又直观。
然后，我们将讨论学习算法两个很重要的问题——学习算法能最终停止并学到东西吗？如果能，学习算法需要运行多久呢？这时我们将惊讶于经典PLA的两点性质：
- 算法可能永远也无法运行结束，会迷失在茫茫的训练数据中永远找不到出口。
- 哪怕知道PLA最终能找到出口，我们也无法事先知道学习需要花多久。
不过别急于换台，我们紧接着就会给出一版升级的PLA算法，只需在经典PLA的基础上增加简单两步，就可以解决上面的问题。
好，我们开始吧。
1. PLA 的假设集合 (Hypothesis Set)
首先，我们从有好货的用户日志中得到训练数据如下(考虑数据安全，数据当然是我Mock的)：
如第二篇第2小节所述，每一条样本表示为x = (x1, x2)，其中x1表示年龄，x2表示商品价格。样本标注用y表示，y=1表示用户点击，y=-1表示用户没点击。（这里我们只选了年龄和商品价格两个维度的特征，当然是为了方便讲解和作图做得简化，实际应用中会使用到多得多的特征）
PLA 的基本想法是每个特征都有个权重wi ，表示该特征的重要程度。综合所有的特征和权重计算一个最终的分数，如果分数超过某个阈值 (threshold)，就表示用户会点击，否则则不会点击。
我们将特征的权重记作w=(w1,w2)，w1代表了年龄这维特征的重要性，w2代表了商品价格这维特征的重要性。于是判断一个用户会不会点击，就变成了下面这个函数：
如果
大于threshold ，那么我们判断用户会点击。
如果
小于threshold，我们判断用户不会点击。
该函数经过简单变换，可以表示得更简洁。如下所示，其中sign(x) 是求表达式的符号，当x大于0时，sign(x) 就等于1。当x小于0时，sign(x) 就等于-1：
注意，在算法完成学习之前，函数中的wi和threshold 是未知的，不同的wi和threshold 值对应了不同的函数，事实上所有可能的wi和threshold 所代表的函数集合，构成了PLA的假设集合(Hypothesis Set)，叫做 Perceptron Hypothesis 。而 PLA 算法要做的，就是根据训练数据找到最优的w和threshold 。
2. Perceptron Hypothesis 的直观解释
OK，上小节我们知道了 PLA 的假设集合 (Hypothesis Set) 就是所有可能的h(x)，不过函数表示理解起来还是有点抽象，那么 Perceptron Hypothesis 有没有直观的理解方式呢？有！
在有好货的例子里，x=(x1,x2)只有两维特征，于是我们先将函数简化：
接着把所有训练样本x=(x1,x2)画到二维平面上，红圈表示点击，蓝叉表示没点击，如下图所示：
由于方程w1·x1 + w2·x2 - threshold = 0就表示平面上的一条直线，且我们知道直线右边所有的点都有w1·x1 + w2·x2 - threshold > 0，左边所有的点都有w1·x1 + w2·x2 - threshold < 0 , 于是可以推出：
PLA假设集合中任意一个确定的h(x) ，都可视作一条直线将平面分隔成了两个区域。线的左边有h(x) = -1，右边有h(x) = 1。
所以，学习算法希望选中的模型g ，就是如上图所示这样的一条线，它正好将训练数据分成两个区域，右边都是红圈，左边都是蓝叉。也正因为这样，Perceptron 是一种线性分类器（Linear Classifiers）。
3. PLA 怎么选一条最好的线
直观理解了 PLA 的 Hypothesis Set 之后，现在我们来看看 PLA 具体是如何确定最优的w和threshold ，得到最优的那条线的。
我们首先需要对公式做一些简化变形：
这个变形的目的是把参数threshold 统一收进w，于是 PLA 找到最优的那条线就等价于找到最优的参数w。于是 PLA 算法就可以写得相当简洁，仅有如下4步：
- Step 1: 随便找一条线，即任意找一个 n 维向量w0，赋初值令w = w0
- Step 2: 如果这条线正好把训练数据正确切分，Lucky！！训练结束！！此时w代表的h(x) 就是我们学得的模型g
- Step 3: 如果有任意一个样本没有被切分正确，即存在任意(x', y')，使得sign( wT x') ≠ y'，此时我们对w代表的线做一点点修正，令wt+1 = wt + y'x’
- Step 4: 跳转到Step 2
就是这么简单，PLA的基本思路就是：先随便找一条线，如果没能正确切分，就修正一点点，直到所有的红圈都在右边，蓝叉都在左边。
Python 编码含注释不到30行（包含画图展示的完整代码可访问我的 Github
https://github.com/hancyxhx/perceptron-learning-algorithm）：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def PLA(trainingData):
w = np.mat([1,2127,205]).transpose() # Step 1: 向量w赋初值
while True:
(status, x, y) = noMistakePoint(trainingData, w)
if status == 'YES': # Step 2: 切分正确，学习完成
return w
else:
w = w + y*x # Step 3: 修正w
def noMistakePoint(training_data, w):
'''训练数据中是否有点被切分错误'''
status = 'YES'
for (x, y) in training_data:
if mSign(w.transpose() * x) <> sign(y):
status = 'NO'
return (status, x, y)
return status, None, None
sign = lambda x:1 if x > 0 else -1 if x < 0 else -1
def mSign(m):
'''判断某个矩阵的[0][0]元素正负.大于0返回1，否则返回-1'''
x = m.tolist()[0][0]
return 1 if x > 0 else -1 if x < 0 else -1每对训练数据进行一次循环遍历我们称为“一轮学习”，当w的初值设为w0=( 1, 2127, 205 )时，PLA仅需 7 轮就成功找到了能够正确切分训练数据的线（如下图所示），最终PLA得到的w=( -1, 2169, -216 )，即学得的模型为g(x) = sign ( 2169 · x1 - 216 · x2 -1)。
PLA 算法很简单，学习的关键在于理解算法的第3步，怎么理解当发现一个样本(x’, y’)没被切分正确时，对 w 的修正是wt+1= wt + y’x’呢？这个修正的含义是什么呢？
分两种情况来分析：
情况1：被错分的点是红圈。也就是说y’是+1，sign(wT x’)却等于-1，使得sign(wT x’) ≠ y’。学过向量乘的同学都知道，两个向量wT和x’相乘小于0，说明它们的夹角大于90°。如果希望它们相乘大于0，需要把夹角变小，而另w = w + y’x’（即w = w + x’）之后正是另两个向量的夹角变小了——如下图情况1所示。
情况2同理：被错分的点是蓝叉。也就是说y’是-1，sign( wT x’)却等于+1，使得sign( wT x’) ≠ y’。说明 wT和x’的夹角小于90°，如果希望它们相乘小于0，需要把夹角变大，而另w = w+y’x’（即 w = w - x’）之后正是另两个向量的夹角变大了——如下图情况2所示。
这就是每次修正直线背后的含义。
4. PLA 一定会停吗？PLA 多久会停？
当 PLA 停止计算时，就说明它找到了一条线能将所有的训练数据切分正确。那么问题来了，PLA 一定会停吗？它一定能找到这样的一条直线吗？
答案是：不一定！
事实上，如果训练数据本身就不存在任何一条线能将其正确切分，比如如下图所示，那么 PLA 无论如何也无法找到理想的直线。学习将进入永不停止的循环。
训练数据至少存在一条直线能将其切分开，称为训练数据是线性可分的 (Linear Seperable) 。因此：
训练数据是线性可分的 (Liner Seperable) ，是 PLA 能够学习的必要条件。
好，如果假设训练数据是线性可分的，PLA 的计算需要多久才能停呢？这里省略具体推导过程（有兴趣可观看机器学习基石课程的推导 https://www.youtube.com/watch?v=Okrrz0IYoSE&index=8&list=PLXVfgk9fNX2I7tB6oIINGBmW50rrmFTqf），推导可得 PLA 最多需要R2 / ρ2轮就会停，其中
注意ρ的公式中用到了“上帝真相”f，而f是未知的，这就意味着哪怕我们知道PLA在线性可分的训练数据上会停止，但具体多久会停止这个值无法计算出来 ：(
5. PLA 搞鸡毛啊！
这个时候有的朋友要骂娘啦，整了半天 PLA 的训练数据必须线性可分，哪怕线性可分需要计算多久也不知道。PLA 搞鸡毛啊！
不要急！！大招马上出来。
我们再看看下面这张图，这里的训练数据不是线性可分，是由其中两个点导致的。在现实中，哪怕原本的训练数据产生于某个“上帝真相”并且是线性可分的，在收集数据处理数据的过程中不可避免的会引入一些脏数据，这部分错误的训练数据我们称为噪声(Noise)。针对这种噪声数据引起的，原本线性可分的训练数据变成了不是线性可分的情况，有一个升级版的 PLA 算法，只需要增加简单的两步节能解决问题：
- Step 1: 随便找一条线，即任意找一个 n 维向量w0，赋初值另w0。同时用一个变量wbest表示在训练数据上表现最好的线，初始有wbest= w0。
- Step 2: 如果这条线正好把训练数据正确切分，Lucky！！ 训练结束！！此时w代表的h(x) 就是我们学得的模型g 。
- Step 3: 如果有任意一个样本没有被切分正确，即存在任意(x', y')，使得sign(wT x') ≠ y'，此时我们对w代表的线做一点点修正，令wt+1 = wt + y'x' 。（注：wT为w的T次幂、wt+1中t+1为下标、wt中t为下标、后同）。
- Step 4: 如果修正后的wt+1比wbest表现的更好，那么修改wbest = wt+1。
- Step 5: 如果训练轮数小于Ntrain，跳转到Step 2。否则训练结束，此时wbest代表的h(x)就是我们学得的模型g。
升级版的 PLA 算法来自于实际经验，当噪声较小时，经过一定次数的训练之后并把表现最好的线记下来，也能得到一个不错解。上面说wt+1和wbest表现的好坏，是指这条线在训练数据上犯了多少错，即
至此，升级版的 PLA 算法无需要求训练数据线性可分，训练最多也会在Ntrain轮内结束。：）
试试动手写写看升级版的 PLA 算法吧。
当然，如果你的训练数据不是线性可分是下图这种情况，作为线性分类器的 PLA 是无能为力的，这需要后面要讲的非线性模型来搞定。期待一下吧。
预告和其它
下一篇我们将围绕一个有关赚钱的机器学习问题展开讨论。
你是否也有过那么一时三刻的不自信：当你有一天成了机器学习专家，学会了从股市的历史数据中学得模型，这个时候你敢跟着模型对股市的预测，进行真金白银的投资吗？
所谓“有史为鉴，可以知兴亡”，从历史中总结出的规律，真的能在未来的预测中被信赖吗？为了做一个对未来负责的机器学习专家，我们下一篇将展开对这个问题的讨论。
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祝开心 ：）