威佐夫博弈(Wythoff Game)

简述

两堆若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者胜

分析

我们用($a_k,b_k$)($a_k≤b_k,k=0,1,2,...,n$)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、

(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。 可以看出:$a_0=b_0=0$,$a_k$是未在前面出现过的最小自然数,而$b_k=a_k+k$

必胜态必败态

满足$a_k$ = k ∗(1 + sqrt(5))/ 2,$b_k=a_k+k$,先手必败,否则先手必胜(详细证明过程可以看文章)。再抽象一点就是:有两堆物品的初始值为$(x,y)$,

且$x < y$,令$z = y – x$,记w = (int)[z * (sqrt(5) + 1)  /  2],若w = x,则先手必败,否则先手必胜

例题

1.HDU1527 取石子游戏

思路:威佐夫博弈模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int a,b;
    while(cin>>a>>b)
    {
        int bb = min(a,b);
        int k = abs(a - b);
        int temp=(k * (1 + sqrt(5)) / 2);
        if(bb == temp)
            printf("0\n");
        else
            printf("1\n");
    }
    return 0;
}

参考文章:https://hrbust-acm-team.gitbooks.io/acm-book/content/game_theory/wei_zuo_fu_bo_yi.html

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