matlab—数值微积分

十四、数值微积分

14.1 polyva()

多项式计算在理工科教学、科研中有着特殊地位和意义。matlab作为重要的工程计算软件也给出了相应的计算指令来完成这一工作。其中就有多项式求值polyval函数，其调用格式为：y = polyval(p,x);，返回n此多项式p在x处的值

参数说明：

p：一个长度为n+1的向量，其元素为按降幂排列的多项式系数

x：可以是一个矩阵或者一个向量，在这两种情况下，polyval计算在x中任意元素处的多项式p的估值

示例（9x^3-5x^2+3x+7）：

图14-1 polyval函数

14.2 polyder()

多项式求微分函数polyder，其调用格式为：

1.k = polyder(p)：返回多项式p的微分表达式的系数

2.k = polyder(a,b)：返回多项式a和b乘积的微分表达式的系数

3.[q,d] = polyder(b,a)：返回多项式a和b微分商b/a的分子q和分母d

示例（3x^2+6x+9）(x^2+2x)：

图14-2 polyder函数

14.3 polyint()

多项式积分函数polyint，其调用格式为：polyint(p,c);，p是多项式对应的系数，c是常数项（可以任意指定）

示例（5x^4-2x^2+1）：

图14-3 polyint函数

14.4 dif()

上面我们讲的都是多项式的一些数值计算的方法，但如果不是多项式如何计算呢，举个栗子，如何求sin(x)在某一点的微分，即使我们知道sin’(x) = cos(x)，但还是要问，如果不知道怎么办？我们想起以前我们学微分的时候，如何用定义求

图14-4 函数求微分

其实我们只要知道两个点，一个(x0,f(x0))，另一个(x0+h,f(x0+h))就可以了，这里涉及到一个函数diff，其调用格式为：

Y=diff(X)：X是一个m维的向量，那么Y返回的是一个m-1维的向量，其中Y的元素分别是X相邻元素之间的差值，即Y=[X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(m)-X(m-1)]；X是一个非空的m*n的矩阵，那么Y返回的是一个(m-1)*n的矩阵，其中Y的元素分别是X行与行之间的差值，Y=[X(2,:)-X(1,:) X(3,:)-X(2,:) ... X(m,:)-X(m-1,:)]。下面我们就给出示例，求一下sin(x)在x = pi/2时的微分

示例：

图14-5 diff函数

当然我们知道cos(pi/2)=0，这里显然不等于0，读者可以把h不断缩小，得出来的值也会不断接近0

14.5 integral()

integral函数的作用是求定积分，其调用格式为：integral(fcn handle,x0,x1);，fcn handle是函数句柄，x0表示积分下限，x1表示积分上限，函数句柄的概念我不做过多解释，读者只需要记住使用的格式，下面先给出示例

示例：

图14-6 integral()函数

在这里，函数句柄的格式为：@(自变量)函数体，可以把@（自变量）当作是d（自变量），只不过放到前面去了

14.6 integral2()

二重积分函数integral2()，调用格式类似integral，直接给出示例

示例：

图14-7 f(x,y)

图14-8 integral2函数

14.7 integral3()

三重积分函数integral3()，调用格式类似integral，直接给出示例

示例：

图14-9 f(x,y,z)

图14-10 integral3函数