你需要知道的数学知识——卷积

引言

卷积基本是一个我学了又忘,忘了又学,来来好多次的概念。今天我又忘了,所以再学了一遍,借此记录下来。希望这次忘的慢一点。

首先,卷积是一种运算。与加减乘除,微分积分一样,是一种运算。但它有所不同的是,通常来讲,我们不会让两个常数卷积。有兴趣的同学可以查阅一下,应该为无穷。通常来讲,卷积是两个函数之间进行的一种运算。它们的运算结果是一个新的函数。

定义

我们称 :

为f,g的卷积。

其连续的定义为:

其离散的定义为:

可以通俗的表达为: f(x)与g(y)的卷积就是,满足x+y=n情况的,所有f(x)*g(y)的总和。

例子

小明存入100元钱,年利率是5%,按复利计算(即将每一年所获利息加入本金,以计算下一年的利息),那么在五年之后他能拿到的钱数是:

100*(1+0.05)^5

,如下表所示:

以此类推,如果小明每年都往银行中存入新的100元钱,那么这个收益表格将是这样的:

image.png

可见,最终小明拿到的钱将等于他各年存入的钱分别计算复利之后得到的钱数的总和,即:

image.png

用求和符号来简化这个公式,可以得到:

我们可以通俗地理解这个例子, f(x) = 100; g(y) = 1.05^y 在这个例子中所谓卷积,就是利率对本金的影响的总和。

物理意义

如果我们将小明的存款函数视为一个信号发生(也就是激励)的过程,而将复利函数视为一个系统对信号的响应函数,那么二者的卷积就可以看做是在任意时刻对系统进行观察,得到的观察结果(也就是输出)将是过去产生的所有信号经过系统的「处理/响应」后得到的结果的叠加,这也就是卷积的物理意义了。

同时,我们知道,时间只是一个维度。我们可以抛弃掉时间的概念:将卷积理解为,在一个或多个维度上,信号与响应得到的结果的叠加。

有了这个思想准备,二维卷积也不难理解了。我们在图像的线性滤波中,经常使用二维卷积:

输入图像为f(x,y),滤波函数为h(x,y)。 如果滤波函数的范围为:x<=k , y <= l 线性滤波的输出图像为:

动图可见:

https://pic4.zhimg.com/50/v2-15fea61b768f7561648dbea164fcb75f_hd.gif

g(i,j)即是在k=3 , l=3时 每个点在x,y轴两个维度上,信号f(x,y)与响应h(x,y)得到结果的叠加。

以上。

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