《具体数学》学习笔记

第1章 递归问题

1.1河内塔

$n$个盘子的汉诺塔问题需要移动$2^n - 1$次

1.2平面上的直线

$n$条直线最多能将平面划分为$\frac{n(n+1)}{2}$个区域

1.3约瑟夫问题

约瑟夫问题：$n$个人围成一个圈，每隔两个人杀死一个人，问最后谁会活下来

设$J(n)$表示答案，$n =(b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$

$J((b_mb_{m - 1}\dots b_1b_0)_2) = (b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$

即$J(n) = n_2 \  left \  rotate$(左循环一位)

第2章 和式

2.1 记号

$\sum_{k = 1} ^n a_k$

$\sum$后面的量成为被加数(summand)

$\sum_{k=1}^{\pi(N)}\frac{1}{p_k}$

其中$p_k$表示第$k$个素数，$\pi(N)$是$\leqslant N$的素数的个数。

这个和式给出了接近$N$的随机整数平均而言有多少个素因子，因为那些整数中大约有$1/p$个能被$p$整除，对于大的$N$，它的值近似等于$lnlnN + M$，其中

$$M \approx 0.261 4972128476427837554268386086958590515666$$

是麦尔腾(mertens)常数(百度不到这个人？！)

2.2 和式和递归式

将$a_nT_n = b_nT{n - 1} + s_nc_n$转化为和式

$$T_n = \frac{1}{s_na_n}(s_1b_1T_0+\sum_{k = 1}^n s_kc_k)$$

其中$$s_n = \frac{a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1}{b_nb_{n-1}\dots b_2}$$

$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$

字母$H$表示“调和的”,$H_n$称为一个“调和数”(harmonic number)

2.3 和式的处理

设$K$是任意一个有限整数集合，$K$中元素的和式可以用三条简单的法则加以变换：

$$\sum_{k \in K}ca_k = c \sum_{k \in K}a_k$$

$$\sum_{k \in K}(a_k + b_k) = \sum_{k \in K}a_k + \sum_{k \in K}b_k$$

$$\sum_{k \in K}a_k = \sum_{p(k) \in K} a_{p(k)}$$

第4章 数论

4.1 整除性

如果$m > 0$且比值$n \mid m$是一个整数，我们就说$m$整除$n$（或者$n$被$m$整除）

$m \mid n \Longleftrightarrow m > 0 $且对某个整数$k$有$n = mk$

如果$m$不整除$n$，我们就写成$m \nmid n$

两个整数$m$和$n$的最大公因子(greatest common divisor)是能整除他们两者的最大整数

$$gcd(m, n) = max\{k \ that \ k\mid m 且 k \mid n\}$$

4.2 素数

如果一个正整数$p$恰好只有两个因子，即$1$和$p$，那么这个数就称为素数（prime）

算术基本定理：有且仅有一种方式将$n$按照素数非减的次序写成素数的成绩

$$n = p_1 \dots p_m = \prod_{k = 1}^m p_k$$

4.3 素数的例子

素数有无穷多个

形如$2^p - 1$的数，称为梅森素数(Mersenne number)

4.4 阶乘的因子

斯特林公式

$$n! \approx \sqrt{2 \pi n}(\frac{n}{e})^n $$