读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识

读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识

预备知识

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

知识点

• 静态完全信息博弈(static games of complete information) 第一步：每个玩家同时并且独立的选择一个行动，（每个玩家都不知道别人的选择情况） 第二步：根据所有玩家选择的行动，收益被分布到每个玩家。
• 完全信息博弈(Games of Complete Information) 一个完全信息博弈要求：下面四部分是博弈中所有玩家的公共知识。

1. 所有玩家的所有可能的行动
2. 所有可能的结果
3. 所有玩家的各种行动组合产生什么样的结果
4. 每个玩家对结果的倾向

• 公共知识(common knowledge) 一个公共知识是一个事件E，并且 (1) 每个人都知道, (2) 每个人都知道每个人都知道，像这样无限循环下去。

普通形式博弈

• 普通形式博弈(normal-form game)有下面三个特征：

1. 一组玩家
2. 每个玩家有一套行动
3. 一套收益函数：每个玩家的行动组合都有一个收益值。

• 策略(strategy) 打算完成一个特定目标的行动计划。
• 纯策略(pure strategy) 玩家i的一个纯策略是一个确定性的（意味着没有随机性）行动计划。 \(S_i\)用来表示玩家i的所有纯策略。
• 所有玩家的纯策略组合(a profile of pure strategies) \(s = (s_i, s_2, \cdots, s_n), s_i \in S_i \text{ for all } i = 1,2,\cdots, n\) 代表在一个博弈中所有n的玩家的一组选择的纯策略组合。
• 普通形式博弈(normal-form game)的数学表达

1. 一个有限的玩家集合, \(N = {1, 2, \cdots, n}\)
2. 每个玩家的纯策略集合的组合, \({S_1, S_2, \cdots, S_n}\)
3. 一套收益函数, \({v_1, v_2, \cdots, v_n}\)，对于每个玩家，每一种所有玩家选择的策略组合，都有一个收益值。 $v_i: S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n \text{ for each } i \in N $

• 普通形式博弈(normal-form game)的数学表达例子：囚徒困境(The Prisoner's Dilemma) Players:\(N = {1,2}\) Strategy sets: \(S_i = {M, F} \ for \ i \in N\) Payoffs: Let \(v_i(s_1, s_2)\) be the payoff to player i if player 1 choose \(s_1\) and player 2 chooses \(s_2\) We can then write payoff are \(v_1(M, M) = v_2(M, M) = -2\) \(v_1(F, F) = v_2(F, F) = -4\) \(v_1(F, M) = v_2(F, M) = -5\) \(v_1(M, F) = v_2(M, F) = -1\) M: mum 沉默; F:fink 告密

2人有限博弈的矩阵表达

• 例子：囚徒困境(The Prisoner's Dilemma)

方案设想(solution concept)

• 方案设想(solution concept) 方案设想(solution concept)是一个分析博弈的方法，用于限定出所有可能的合理结果。 一个方案设想将导致一个预言或者处方。
• 均衡(equilibrium) 任何一种可以产生方案设想预言的策略组合。 也就是可以任何一种导致合理结果的策略组合。

如果用因果关系来说明，均衡是（可以导致合理结果的）因，方案设想是（可以导致合理结果的）分析方法，因果关系的公共知识。 从权衡方面来说：方案设想就是一个权衡。均衡的权衡的结果。

• 方案设想的假设条件

1. 玩家是理性的
2. 玩家是智力的
3. 公共知识：“玩家是理性的”和“玩家是智力的”是所有玩家的公共知识。
4. 自我执行：方案设想的均衡必须是自我执行的。（每个玩家都会采用一种均衡结果）

• 方案设想的评估

1. 存在性(Existence: How often does it apply?)
2. 唯一性(Uniqueness: How much does it restrict behavior?)
3. 不变性(Invariance: How sensitive is it to small changes?)

• 帕累托优势(pareto dominate) 策略组合s帕累托优势于策略组合s'，其前提条件：对于每个玩家，在策略组合s中的收益都大于等于在策略组合s‘中的收益，并且至少有一个玩家，在策略组合s中的收益大于在策略组合s‘中的收益。

\[ v_i(s) \geq v_i(s'), \forall i \in N \\ \ v_i(s) > v_i(s'), \exists i \in N \]

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间