本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。
\[ S \equiv S_1 \times S_2 \times \cdots S_n \\ S_{-i} \equiv S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_{i-1} \times S_{i+1} \times \cdots S_n \\ s = (s_1, s_2, \cdots, s_n) \\ s_{-i} = (s_1, s_2, \cdots, s_{i-1}, s_{i+1}, \cdots, s_n) \\ s = (s_i, s_{-i}) \] \(S\): 所有人的所有策略组合。 \(S_{-i}\): 除了玩家\(i\)以外,所有人的所有策略组合。 \(s\): 所有人的一种策略组合。 \(s_{-i}\): 除了玩家\(i\)以外,所有人的一种策略组合。 引进\(S_{-i}\)和\(s_{-i}\)是为了
\[ v_i(s'_i, s_{-i}) < v(s_i, s_{-i}), \forall s_{-i} \in S_{-i} \]
断言 4.1
一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。
\[ v_i(s_i, s_{-i}) > v(s'_i, s_{-i}), \forall s'_i \in S_i, s'_i \neq s_i, and \ \forall s_{-i} \in S_{-i} \]
\[ s_i \equiv s_i^D, \forall i \in N \]
推论 4.1
如果博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\)有一个严格优势策略均衡\(s^D\),则\(s^D\)是唯一的严格优势策略均衡。
断言 4.2
如果有的话,玩家一定会选择优势策略。
博弈论方法就是一个寻找均衡的过程。 方法名:IESDS(Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies) 基本逻辑:
一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。 如果有的话,玩家一定会选择优势策略。 过程:略
推论 4.2
如果博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\),\(s^*\)是一个严格优势策略均衡,则\(S^*\)是唯一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡。
在已经学习的两个方法严格优势策略和严格劣势策略的迭代消除(IESDS)之外的情况下,如果玩家i的一个策略\(s_i\)不是一个严格劣势策略,那就意味着在一定条件下(对手的某些策略下),策略\(s_i\)是一个合理的响应。
方法
推论 4.1
如果博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\)有一个严格优势策略均衡\(s^D\),则\(s^D\)是唯一的严格优势策略均衡。
推论 4.2
如果博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\),\(s^*\)是一个严格优势策略博弈,则\(S^*\)是唯一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡。
推论 4.3
对于玩家i,一个严格劣势策略\(s_i\),不可能是任何\(s_{-i} \in S_{-i}\)的最佳响应。
推论 4.4
在一个有限普通形式的博弈中,\(s^*\)是一个严格优势策略,或者是一个唯一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡, 则s_i^*是一个对于任何\(s_{-i} \in S_{-i}\)的最佳响应。
断言 4.1
一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。
断言
如果有的话,玩家一定会选择优势策略。
断言 4.2
一个理性玩家,在认为他的对手选择策略\(s_{-i} \in S_{-i}\)时,总会选择\(s_{-i}\)的最想响应。
断言
一个理性玩家只会选择(他对手们的策略组合的)最佳响应。