机器人运动学之连杆笑你不会看平面三维图

前面我们已经对变换已经有一定了解了，是时候该放到机器人上去实践一下了。当然，我们的实践目标还是臂式机器人。

初见变换方程

先来上个图，此图来源于网络，但是和我看的蔡自兴老师写的《机器人学基础》上的配图一毛一样。

如上图，当我们已经能够理清变换的关系后，我们就应该利用变换建立起机器人各部分之间、机器人与环境之间的运动关系，进而描述机器人的操作。而我们要描述 的关系，就是它们之间的位姿关系。在上图中，{B}代表基坐标系，{T}是工具系，{S}是工作站系，{G}是目标系，它们之间的位姿关系可用相应的齐 次变换来描述。

对物体进行操作时，工具系{T}相对目标系{G}的位姿直接影响操作效果。他是机器人控制和规划的目标，它与其他变换之间的关系可用空间尺寸链（有向变换图）来表示，如上图（b）中所示一样。工具系{T}相对于基坐标系{B}的描述可用图中的变换矩阵来表示。建立起上图中所示的矩阵变换方程以后，当上述矩阵变换中只有一个变换未知时，就可以将这一未知的变换表示为其他已知变换乘积的形式。

就比如，在工业机器人的工作环境中，机器人的安装基座是固定的，也就是坐标系{B}已知，操作台（工作站系{S}）也是相对固定的，操作目标（目标系 {G}）一般有摄像头或其他视觉传感器获取空间位置信息，也可作为已知量。那么，知道机械臂末端的工具（工具系{T})相对安装基座（基座标系{B}）的相对变换后，我们就可以将上图中的矩阵变换方程等号两边同时作以下操作：

那么，问题来了，我们怎么知道机械臂末端的工具（工具系{T})相对安装基座（基座标系{B}）的变换呢。机器人运动学能够帮我们解决相关问题。

机器人运动学之连杆笑你不会看平面三维图

恭喜各位与我一起积累了一定的机器人相关数理基础，开始进一步学习机器人运动学。在这一部分，我们仍然要面对相当的数学问题，不断地将机器人模型用数学模型构建起来，将机器人的结构及运动用数学语言表达出来。

前面说到机器人一般有6个自由度。如果一个关节决定一个自由度的话，那么，应该有六个关节，每个关节都对应了一个坐标系。每个关节之间，又是由连杆连接的。我们相对整个机器人（机械手）进行描述，就必须先建立两个连杆之间的描述。

如上图，上图是以Craig参考坐标系约定而建立起的连杆坐标系。坐标系有四个参数：两轴轴心线公共法线距离a、两轴轴心线夹角α、两连杆相对位置d、两连杆法线夹角Θ。

机器人（机械手）连接关节的类型有两种——转动关节和棱柱联轴节。我们用图中转动关节讲解那四个变量，同时讲解Craig参考坐标系的建立规则（因为书上没讲棱柱联轴节我也不会啊，哭）。

看完这个似乎明白了什么——Θ也就是在两个转轴上以Craig参考坐标系规则建立的两x轴的夹角。

现在，我们已经对Craig坐标系的四个参数——两转轴轴心线公共法线距离a、两转轴轴心线夹角α、两连杆相对位置d、两连杆法 线夹角Θ——有了一定的认识，同时能够建立Craig坐标系。这个时候，我们还要明白这些参数的一些数学属性。除了两转轴轴心线公共法线距离a大于等于0 外，另外三个参数都有正负。两转轴轴心线夹角α和两连杆法线夹角Θ分别是围绕z轴和x轴旋转定义的，它们的正负就根据判定旋转矢量方向的右手法则来确定。 在转轴i上的两连杆相对位置d的正向被设定为与其坐标系z轴正方向一致。

当我们明确了以上所有关系以后，连杆之间的关系也能通过我们之前讲过的旋转变换和平移变换来得到了。

这种关系我们用表示连杆i对连杆i-1相对位置的四个齐次坐标变换来描述，根据坐标系变换的链式法则，坐标系{i-1}到坐标系{i}的变换矩阵可以写成：

现在，我们就可以解决本篇之前提到的问题了——如何得到机械臂末端的工具（工具系{T})相对安装基座（基座标系{B}）的变换。另外还需注意的是，当连杆末端坐标系与工具系不是一个坐标系的话，要考虑连杆末端坐标系相对工具系的变换。