【概率笔记】这些概率公理性质你需要会的呀
【概率笔记】这些概率公理性质你需要会的呀
阅读大概需要5分钟 跟随小博主，每天进步一丢丢
导读
概率论是AI的基础学科，如果想学的深的话，概率论必不可少的一门呀！概率基础还没有看的小伙伴们，可以看下面的链接啦：
今天的主要内容为概率的一些基本公理以及它的证明和应用。慢慢的来，每天进步一丢丢。
概率三公理（Axioms of Probability）
公理是大家公认的定理，不需要证明，也无法证明。很多的学科的发展都是建立在一些公理的基础上的，也就是说公理都是很简单的，一看就知道就是这么回事。比如概率的公理有三个：
公理一
注：我们的所有研究都是建立在任何事物的概率都是非负数
公理二
注：S是所有可能的集合，所有可能的概率当然就是1啦
公理三
注：事件互斥，那么它们交的概率就为各自的概率之和。该公理搭起了集合运算和概率运算的桥梁。
上述三公理是之后证明各种概率定理的前驱，所以也被誉为神圣三公理！
公理三的一个应用：
从一副52张扑克牌中抽出一张，是A（Ace）的概率是？
很简单，A有四种花色，每种都互斥，那么计算过程就为：
公理衍生之概率定理
定理一
注：空集表示该事件一直没有结果，比如筛子一直转不停，虽然不现实。我觉得这个式子的作用就是为了数学好计算啦。
证明：
这里就需要用到上述的三大公理了
注：先证互斥，再根据公理二，三推导。（先证互斥的原因是，公理三用到互斥的前提）
定理二
注：A^c为A的补集
证明：
注：先证互斥，再根据公理二，三推导。
定理三
注：A-B为A减去和B相同的部分
画图证明：
假设A，B为
那么黄色区域A
那么转换成公式为：
注：依然是先证明A-B和A并B互斥（由上图可知），再根据公理三推导即可。
定理四
注：A和B交的概率等于各自的概率，减去A，B的并
画图证明：
假设A，B为
A交B的部分为
那么上图可表示为
公式证明为
就性质四举个生活小栗子
比如街上碰到一个人，他们爱吃甜口或者咸口的概率是？
当然就为上述公式啦：
定理五（切面包定理）
若C1...Cn互斥，且他们的交集为S，则对于任意事件A来说：
画图表示为
注：当然，A也可以不属于某些Ci
就该定理，举一个生活中的小栗子：
阿宅暗恋某可爱女店员。她的笑容打开了他的心扉。阿宅注意到她的笑容会受到生意的影响，于是他每天记录她的生意和她的笑。店生意有满（人满），普（普通），惨（萧条）三个状态，而她有笑，怒两个状态。根据记录：
那么她的笑的概率怎么计算呢？
我们可以充分利用上述定理，即：
公式为：
定理六
画图表示为：
定理七
对任意n个事件，A1，...，An来说，有
Boole's不等式：
Bonferroni's不等式：
注：最后两个就不证明了，很好理解哒。
导读
这些公理，定理搞懂了吧 嘿嘿。接下来就该慢慢深入了，下集预告：条件概率！慢慢来，先把基础打牢！
reference 概率视频 叶丙成 中国台湾大学