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在社交网络(socialnetwork)的研究中,我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。
在一个社交圈子里有n个人,人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上,
两个不同的人若互相认识,则在他们对应的结点之间连接一条无向边,并附上一个正数权值c,c越小,表示两个人
之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度,注意到最短路
径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利,即这些结点对于s和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过
统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点A和B之间可能会有
多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下:令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目,Cs,t(v)表示经过v从s
到t的最短路的数目;则定义
为结点v在社交网络中的重要程度。为了使I(v)和Cs,t(v)有意义,我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图
,即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图,请你求出每
一个结点的重要程度。
输入第一行有两个整数n和m,表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中,我们将所有结点从1到n进行编号
。接下来m行,每行用三个整数a,b,c描述一条连接结点a和b,权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有
一条无向边相连,无向图中也不会出现自环(即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点)。n≤100;m≤4500
,任意一条边的权值 c 是正整数,满足:1≤c≤1000。所有数据中保证给出的无向图连通,且任意两个结点之间
的最短路径数目不超过 10^10
输出包括n行,每行一个实数,精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。
4 4 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 1 1
1.000 1.000 1.000 1.000
社交网络如下图所示。
对于 1 号结点而言,只有 2 号到 4 号结点和 4 号到 2 号结点的最短路经过 1 号结点,而 2 号结点和 4 号结
点之间的最短路又有 2 条。因而根据定义,1 号结点的重要程度计算为 1/2 + 1/2 = 1 。由于图的对称性,其他
三个结点的重要程度也都是 1 。
最短路计数。。
mdzz想到一个做法,应该是$N^3$的,不过与边权有关,然后被卡成$90$分卡成一下午。。
就是直接dfs求最短路计数的时候统计答案,但是不能写记忆化。会wa
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 10, INF = 1e8 + 10;
inline int read() {
char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
return x * f;
}
int N, M;
int dis[101][101], f[101][101], num[101][101][101], w[101][101];
void Floyed() {
for(int k = 1; k <= N; k++) {
dis[k][k] = 0;
for(int i = 1; i <= N; i++)
for(int j = 1; j <= N; j++)
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
}
}
int GetAns(int bg, int now, int pre) {
int ans = 0;
if(bg == now) return 1;
for(int i = 1; i <= N; i++) {
if(now != i && dis[bg][now] == dis[bg][i] + w[i][now]) {
int x = GetAns(bg, i, pre);
num[bg][pre][i] += x;
ans += x;
}
}
return ans;
}
double ans[MAXN];
main() {
#ifdef WIN32
freopen("a.in", "r", stdin);
//freopen("a.out", "w", stdout);
#endif
N = read(); M = read();
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
memset(w, 0x3f, sizeof(w));
for(int i = 1; i <= M; i++) {
int x = read(), y = read(), z = read();
w[x][y] = w[y][x] = dis[x][y] = dis[y][x] = z;
}
Floyed();
for(int i = 1; i <= N; i++) {
f[i][i] = 1;
for(int j = 1; j <= N; j++)
f[i][j] = GetAns(i, j, j);
}
for(int i = 1; i <= N; i++) {
double ans = 0;
for(int s = 1; s <= N; s++) {
for(int t = 1; t <= N; t++)
if(s != i && t != i && s != t)
ans += (double)num[s][t][i] / f[s][t];
}
printf("%.3lf\n", ans);
}
return 0;
}
标算是Floyd最短路计数,
// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int INF = 1e9 + 10;
inline int read() {
char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
return x * f;
}
int N, M;
LL dis[101][101], num[101][101];
double ans[101];
void Floyed() {
for(int k = 1; k <= N; k++) {
for(int i = 1; i <= N; i++)
for(int j = 1; j <= N; j++) {
int to = dis[i][k] + dis[k][j];
if(to == INF) continue;
if(to < dis[i][j])
dis[i][j] = to, num[i][j] = num[i][k] * num[k][j];
else if(to == dis[i][j])
num[i][j] += num[i][k] * num[k][j];
}
}
for(int i = 1; i <= N; i++) {
for(int s = 1; s <= N; s++) {
for(int t = 1; t <= N; t++) {
if(s == i || t == i || (dis[s][i] + dis[i][t] != dis[s][t]) || s == t) continue;
ans[i] += (double)(1.0 * num[s][i] * num[i][t]) / num[s][t];
}
}
}
}
int main() {
N = read(); M = read();
for(int i = 1; i <= N; i++)
for(int j = 1; j <= N; j++)
dis[i][j] = INF;
for(int i = 1; i <= M; i++) {
int x = read(), y = read(), z = read();
dis[x][y] = dis[y][x] = z;
num[x][y] = num[y][x] = 1;
}
Floyed();
for(int i = 1; i <= N; i++)
printf("%.3lf\n", ans[i]);
return 0;
}