杜教筛入门
前置知识
杜教筛
套路
杜教筛是用来求一类积性函数的前缀和
它通过各种转化，最终利用数论分块的思想来降低复杂度
假设我们现在要求$S(n) = \sum_{i = 1}^n f(i)$，$f(i)$为积性函数,$n \leqslant 10^{12}$
直接求肯定是不好求的，不过现在假设有另一个积性函数$g$
我们来求它们狄利克雷卷积的前缀和
$$(g * f) = \sum_{i = 1}^n \sum_{d \mid i} g(d) f(\frac{i}{d})$$
$$= \sum_{d = 1}^n g(d) \sum_{d|i} f(\frac{i}{d})$$
$$= \sum_{d = 1}^n g(d) \sum_{i = 1}^{\frac{n}{d}}f(i)$$
$$= \sum_{d = 1}^n g(d) S(\frac{n}{d})$$
然后就化不动了，不过我们发现我们化出了$\frac{n}{d}$！excited
但是$S(n)$怎么求呢？
容斥一下
$$g(1)S(n) = \sum_{d = 1}^n g(d)S(\frac{n}{d}) - \sum_{d = 2}^n g(d)S(\frac{n}{d})$$
前半部分是狄利克雷卷积的前缀和的形式
后半部分可以数论分块。这样看起来就好搞多了
现在我们的问题是，如何选择$g$才能使得上面这个式子好算
这个就要因情况而定了
下面煮几个典型栗子
$\mu$函数
定理:$\sum_{d \mid n} \mu(d) = n = 1$
那么我们如果选择$g = e$，$e$为原函数，$e = n = 1$
$g$与$\mu$的卷积的前缀和肯定为$1$
上面的式子变为
$S(n) = 1 - \sum_{d = 2}^n S(\frac{n}{i})$
后半部分直接数论分块就好
$\varphi$函数
定理：$\sum_{d \mid n}\varphi(d) = n$
我们的$g$还是选$e$做卷积
我们要求得式子变为
$$S(n) = \frac{n * (n + 1)}{2} - \sum_{d = 2}^n S(\frac{n}{i})$$
前半部分$O(1)$算，后半部分数论分块
题目
目前没有做多少题目，而且我的杜教筛是分两波学的，所以码风差异可能比较大qwq。
如果需要真·杜教筛题目的话可以去看糖教的博客
https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009