数学小记

用户2615200

发布于 2018-08-02 16:44:36

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发布于 2018-08-02 16:44:36

文章被收录于专栏：tkokof 的技术,小趣及杂念tkokof 的技术,小趣及杂念

近来看到的一个小小的数学问题，简单一记~

问题

给定任一奇数a,求平方数b,使其与a的和等于另一平方数c

初一看该问题没想到直接的构造方法,首先使用穷举法来看下小范围数值的结果:

function is_square_num(n)
    local sqrt = math.floor(math.sqrt(n))
    return sqrt * sqrt == n
end

function calc_square_sum(n)
    local begin = 1
    while true do
        local b = begin * begin
        if is_square_num(b + n) then
            return b
        else
            begin = begin + 1
        end
    end
end

function print_square_sum(n)
    local b = calc_square_sum(n)
    print(n .. " + " .. b .. " = " .. (n + b))
end

测试一些小范围数值:

print_square_sum(3)
print_square_sum(5)
print_square_sum(7)

结果如下:

3 + 1 = 4
5 + 4 = 9
7 + 9 = 16

观察到程序搜索到的b和c都可以写成n和n+1的形式:

我们简单来计算一下 (n+1)^2 - (n)^2:

结果为 2n + 1, 考虑到任一奇数都可以表示成这种形式,所以使用以下构造方法即可立即得到上述的b和c:

改写的代码如下:

function is_square_num(n)
    local sqrt = math.floor(math.sqrt(n))
    return sqrt * sqrt == n
end

function calc_square_sum(n)
    local b = (n - 1) / 2
    return math.floor(b * b)
end

function print_square_sum(n)
    local b = calc_square_sum(n)
    print(n .. " + " .. b .. " = " .. (n + b))
end

引申问题

证明给定任一奇平方数a,都存在偶平方数b,使其与a的和等于另一平方数c

首先奇平方数也是奇数,所以根据第一个问题的结论方法,我们可以找到符合条件的平方数b和c,其中:

剩下的问题便是证明b是偶数,结合a是奇平方数的前提,我们可以得到:

综上,问题得证~

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原始发表：2017年12月19日，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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