迷宫问题(maze problem)——深度优先(DFS)与广度优先搜索(BFS)求解

1.问题简介

给定一个迷宫,指明起点和终点,找出从起点出发到终点的有效可行路径,就是迷宫问题(maze problem)。

迷宫可以以二维数组来存储表示。0表示通路,1表示障碍。注意这里规定移动可以从上、下、左、右四方方向移动。坐标以行和列表示,均从0开始,给定起点(0,0)和终点(4,4),迷宫表示如下:

int maze[5][5]={
    {0,0,0,0,0},
    {0,1,0,1,0},
    {0,1,1,0,0},
    {0,1,1,0,1},
    {0,0,0,0,0}
};

那么下面的迷宫就有两条可行的路径,分别为: (1)(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,4) (2,4) (2,3) (3,3) (4,3) (4,4); (2)(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ;

可见,迷宫可行路径有可能是多条,且路径长度可能不一。

2.求解方法

迷宫问题的求解可以抽象为连通图的遍历,因此主要有两种方法。

第一种方法是:深度优先搜索(DFS)加回溯。

其优点:无需像广度优先搜索那样(BFS)记录前驱结点。 其缺点:找到的第一条可行路径不一定是最短路径,如果需要找到最短路径,那么需要找出所有可行路径后,再逐一比较,求出最短路径。

第二种方法是:广度优先搜索(BFS)其优点:找出的第一条路径就是最短路径。 其缺点:需要记录结点的前驱结点,来形成路径。

下面将给出上面两种方法的具体步骤和实现。

3.方法详解与具体实现

3.1深度优先搜索(DFS)加回溯求解第一条可行路径

3.1.1实现步骤

(1)给定起点和终点,判断二者的合法性,如果不合法,返回; (2)如果起点和终点合法,将起点入栈; (3)取栈顶元素,求其邻接的未被访问的无障碍结点。求如果有,记其为已访问,并入栈。如果没有则回溯上一结点,具体做法是将当前栈顶元素出栈。

其中,求邻接无障碍结点的顺序可任意,本文实现是以上、右、下、左的顺序求解。 (4)重复步骤(3),直到栈空(没有找到可行路径)或者栈顶元素等于终点(找到第一条可行路径)。

3.1.2具体实现

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;

struct Point{  
    //行与列
    int row;  
    int col;  
    Point(int x,int y){
        this->row=x;
        this->col=y;
    }

    bool operator!=(const Point& rhs){
        if(this->row!=rhs.row||this->col!=rhs.col)
            return true;
        return false;
    }
};  

//func:获取相邻未被访问的节点
//para:mark:结点标记,point:结点,m:行,n:列
//ret:邻接未被访问的结点
Point getAdjacentNotVisitedNode(bool** mark,Point point,int m,int n){
    Point resP(-1,-1);
    if(point.row-1>=0&&mark[point.row-1][point.col]==false){//上节点满足条件
        resP.row=point.row-1;
        resP.col=point.col;
        return resP;
    }
    if(point.col+1<n&&mark[point.row][point.col+1]==false){//右节点满足条件
        resP.row=point.row;
        resP.col=point.col+1;
        return resP;
    }
    if(point.row+1<m&&mark[point.row+1][point.col]==false){//下节点满足条件
        resP.row=point.row+1;
        resP.col=point.col;
        return resP;
    }
    if(point.col-1>=0&&mark[point.row][point.col-1]==false){//左节点满足条件
        resP.row=point.row;
        resP.col=point.col-1;
        return resP;
    }
    return resP;
}


//func:给定二维迷宫,求可行路径
//para:maze:迷宫;m:行;n:列;startP:开始结点 endP:结束结点; pointStack:栈,存放路径结点
//ret:无
void mazePath(void* maze,int m,int n,const Point& startP,Point endP,stack<Point>& pointStack){
    //将给定的任意列数的二维数组还原为指针数组,以支持下标操作
    int** maze2d=new int*[m];
    for(int i=0;i<m;++i){
        maze2d[i]=(int*)maze+i*n;
    }

    if(maze2d[startP.row][startP.col]==1||maze2d[endP.row][endP.col]==1)
        return ;                    //输入错误

    //建立各个节点访问标记
    bool** mark=new bool*[m];
    for(int i=0;i<m;++i){
        mark[i]=new bool[n];
    }
    for(int i=0;i<m;++i){
        for(int j=0;j<n;++j){
            mark[i][j]=*((int*)maze+i*n+j);
        }
    }

    //将起点入栈
    pointStack.push(startP);
    mark[startP.row][startP.col]=true;

    //栈不空并且栈顶元素不为结束节点
    while(pointStack.empty()==false&&pointStack.top()!=endP){
        Point adjacentNotVisitedNode=getAdjacentNotVisitedNode(mark,pointStack.top(),m,n);
        if(adjacentNotVisitedNode.row==-1){ //没有未被访问的相邻节点
            pointStack.pop(); //回溯到上一个节点
            continue;
        }

        //入栈并设置访问标志为true
        mark[adjacentNotVisitedNode.row][adjacentNotVisitedNode.col]=true;
        pointStack.push(adjacentNotVisitedNode);
    }
}

int main(){
    int maze[5][5]={
        {0,0,0,0,0},
        {0,1,0,1,0},
        {0,1,1,0,0},
        {0,1,1,0,1},
        {0,0,0,0,0}
    };

    Point startP(0,0);
    Point endP(4,4);
    stack<Point>  pointStack;
    mazePath(maze,5,5,startP,endP,pointStack);

    //没有找打可行解
    if(pointStack.empty()==true)
        cout<<"no right path"<<endl;
    else{
        stack<Point> tmpStack;
        cout<<"path:";
        while(pointStack.empty()==false){
            tmpStack.push(pointStack.top());
            pointStack.pop();
        }
        while (tmpStack.empty()==false){
            printf("(%d,%d) ",tmpStack.top().row,tmpStack.top().col);
            tmpStack.pop();
        }
    }
    getchar();
}

程序输出:path:(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,4) (2,4) (2,3) (3,3) (4,3) (4,4)。

可见该条路径不是最短路径。因为程序中给定的迷宫还有一条更短路径为:(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ;

如果我们调整调用寻找下一个未访问的相邻结点的顺序,可换成先左右,后上下,可能会得到更短的路径,但无法确保在任何情况下都能得到最短路径。

3.2改进深度优先搜索(DFS)加回溯求解最短路径

3.2.1改进办法

根据上面的方法我们可以在此基础之上进行改进,求出迷宫的最短的路径。具体做法如下: (1)让已经访问过的结点可以再次被访问,具体做法是将mark标记改为当前结点到起点的距离,作为当前结点的权值。即从起点开始出发,向四个方向查找,每走一步,把走过的点的值+1;

(2)寻找栈顶元素的下一个可访问的相邻结点,条件就是栈顶元素的权值加1必须小于下一个节点的权值(墙不能走,未被访问的结点权值为0);

(3)如果访问到终点,记录当前最短的路径。如果不是,则继续寻找下一个结点;

(4)重复步骤(2)和(3)直到栈空(迷宫中所有符合条件的结点均被访问)。

3.2.2具体实现

#include <iostream>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;

struct Point{  
    //行与列
    int row;  
    int col;  
    Point(int x,int y){
        this->row=x;
        this->col=y;
    }

    bool operator!=(const Point& rhs){
        if(this->row!=rhs.row||this->col!=rhs.col)
            return true;
        return false;
    }

    bool operator==(const Point& rhs) const{
        if(this->row==rhs.row&&this->col==rhs.col)
            return true;
        return false;
    }
};  

int maze[5][5]={
    {0, 0, 0, 0,0},
    {0,-1, 0,-1,0},
    {0,-1,-1, 0,0},
    {0,-1,-1, 0,-1},
    {0, 0, 0, 0, 0}
};

//func:获取相邻未被访问的节点
//para:mark:结点标记;point:结点;m:行;n:列;endP:终点
//ret:邻接未被访问的结点
Point getAdjacentNotVisitedNode(int** mark,Point point,int m,int n,Point endP){
    Point resP(-1,-1);
    if(point.row-1>=0){
        if(mark[point.row-1][point.col]==0||mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row-1][point.col]){//上节点满足条件
            resP.row=point.row-1;
            resP.col=point.col;
            return resP;
        }
    }
    if(point.col+1<n){
        if(mark[point.row][point.col+1]==0||mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row][point.col+1]){//右节点满足条件
            resP.row=point.row;
            resP.col=point.col+1;
            return resP;
        }
    }
    if(point.row+1<m){
        if(mark[point.row+1][point.col]==0||mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row+1][point.col]){//下节点满足条件
            resP.row=point.row+1;
            resP.col=point.col;
            return resP;
        }
    }
    if(point.col-1>=0){
        if(mark[point.row][point.col-1]==0||mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row][point.col-1]){//左节点满足条件
            resP.row=point.row;
            resP.col=point.col-1;
            return resP;
        }
    }
    return resP;
}

//func:给定二维迷宫,求可行路径
//para:maze:迷宫;m:行;n:列;startP:开始结点 endP:结束结点; pointStack:栈,存放路径结点;vecPath:存放最短路径
//ret:无
void mazePath(void* maze,int m,int n, Point& startP, Point endP,stack<Point>& pointStack,vector<Point>& vecPath){
    //将给定的任意列数的二维数组还原为指针数组,以支持下标操作
    int** maze2d=new int*[m];
    for(int i=0;i<m;++i){
        maze2d[i]=(int*)maze+i*n;
    }

    if(maze2d[startP.row][startP.col]==-1||maze2d[endP.row][endP.col]==-1)
        return ;                    //输入错误

    //建立各个节点访问标记,表示结点到到起点的权值,也记录了起点到当前结点路径的长度
    int** mark=new int*[m];
    for(int i=0;i<m;++i){
        mark[i]=new int[n];
    }
    for(int i=0;i<m;++i){
        for(int j=0;j<n;++j){
            mark[i][j]=*((int*)maze+i*n+j);
        }
    }
    if(startP==endP){//起点等于终点
        vecPath.push_back(startP);
        return;
    }

    //增加一个终点的已被访问的前驱结点集
    vector<Point> visitedEndPointPreNodeVec;

    //将起点入栈
    pointStack.push(startP);
    mark[startP.row][startP.col]=true;

    //栈不空并且栈顶元素不为结束节点
    while(pointStack.empty()==false){
        Point adjacentNotVisitedNode=getAdjacentNotVisitedNode(mark,pointStack.top(),m,n,endP);
        if(adjacentNotVisitedNode.row==-1){ //没有符合条件的相邻节点
            pointStack.pop(); //回溯到上一个节点
            continue;
        }
        if(adjacentNotVisitedNode==endP){//以较短的路劲,找到了终点,
            mark[adjacentNotVisitedNode.row][adjacentNotVisitedNode.col]=mark[pointStack.top().row][pointStack.top().col]+1;
            pointStack.push(endP);
            stack<Point> pointStackTemp=pointStack;
            vecPath.clear();
            while (pointStackTemp.empty()==false){
                vecPath.push_back(pointStackTemp.top());//这里vecPath存放的是逆序路径
                pointStackTemp.pop();
            }
            pointStack.pop(); //将终点出栈

            continue;
        }
        //入栈并设置访问标志为true
        mark[adjacentNotVisitedNode.row][adjacentNotVisitedNode.col]=mark[pointStack.top().row][pointStack.top().col]+1;
        pointStack.push(adjacentNotVisitedNode);
    }
}

int main(){
    Point startP(0,0);
    Point endP(4,4);
    stack<Point>  pointStack;
    vector<Point> vecPath;
    mazePath(maze,5,5,startP,endP,pointStack,vecPath);

    if(vecPath.empty()==true)
        cout<<"no right path"<<endl;
    else{
        cout<<"shortest path:";
        for(auto i=vecPath.rbegin();i!=vecPath.rend();++i)
            printf("(%d,%d) ",i->row,i->col);
    }

    getchar();
}

程序输出最短路径如下:

如果将程序的迷宫改为如下:

int maze[5][3]={
0, -1, 0, 
0, -1 ,0,
1, -1, 0 ,
0, -1, 0,
0 ,0,  0};

输出:

代码相关说明: 对比3.1.2的代码,根据改进的办法,可以看到上段代码修改的地方主要有三个地方: (1)mark标记改为结点权值,记录起点到结点的路径长度。因此起点的权值为0。 (2)为适应mark标记,将迷宫的墙改为-1,以免与结点权值混淆。 (3)求解下一个访问的结点,判断条件是结点的权值要小于其当前权值。

3.3广度优先搜索(BFS)求解迷宫的最短路径

广度优先搜索的优点是找出的第一条路径就是最短路径,所以经常用来搜索最短路径,思路和图的广度优先遍历一样,需要借助于队列。

具体步骤: (1)从入口元素开始,判断它上下左右的邻边元素是否满足条件,如果满足条件就入队列; (2)取队首元素并出队列。寻找其相邻未被访问的元素,将其如队列并标记元素的前驱节点为队首元素。 (3)重复步骤(2),直到队列为空(没有找到可行路径)或者找到了终点。最后从终点开始,根据节点的前驱节点找出一条最短的可行路径。

具体实现: 以C++为例:

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

struct Point{  
    //行与列
    int row;  
    int col;  

    //默认构造函数
    Point(){
        row=col=-1;
    }

    Point(int x,int y){
        this->row=x;
        this->col=y;
    }

    bool operator==(const Point& rhs) const{
        if(this->row==rhs.row&&this->col==rhs.col)
            return true;
        return false;
    }
};

int maze[5][5]={
    {0,0,0,0,0},
    {0,1,0,1,0},
    {0,1,1,1,0},
    {0,1,0,0,1},
    {0,0,0,0,0}
};

void mazePath(void* maze,int m,int n, Point& startP, Point endP,vector<Point>& shortestPath){
    int** maze2d=new int*[m];
    for(int i=0;i<m;++i){
        maze2d[i]=(int*)maze+i*n;
    }

    if(maze2d[startP.row][startP.col]==1||maze2d[startP.row][startP.col]==1) return ; //输入错误

    if(startP==endP){ //起点即终点
        shortestPath.push_back(startP);
        return;
    }

    //mark标记每一个节点的前驱节点,如果没有则为(-1,-1),如果有,则表示已经被访问
    Point** mark=new Point*[m];
    for(int i=0;i<m;++i){
        mark[i]=new Point[n];
    }

    queue<Point> queuePoint;
    queuePoint.push(startP);
    //将起点的前驱节点设置为自己
    mark[startP.row][startP.col]=startP;

    while(queuePoint.empty()==false){
        Point pointFront=queuePoint.front();
        queuePoint.pop();

        if(pointFront.row-1>=0 && maze2d[pointFront.row-1][pointFront.col]==0){//上节点连通
            if(mark[pointFront.row-1][pointFront.col]==Point()){//上节点未被访问,满足条件,如队列
                mark[pointFront.row-1][pointFront.col]=pointFront;
                queuePoint.push(Point(pointFront.row-1,pointFront.col)); //入栈
                if(Point(pointFront.row-1,pointFront.col)==endP){ //找到终点
                    break;
                }
            }
        }

        if(pointFront.col+1<n && maze2d[pointFront.row][pointFront.col+1]==0){//右节点连通
            if(mark[pointFront.row][pointFront.col+1]==Point()){//右节点未被访问,满足条件,如队列
                mark[pointFront.row][pointFront.col+1]=pointFront;
                queuePoint.push(Point(pointFront.row,pointFront.col+1));    //入栈
                if(Point(pointFront.row,pointFront.col+1)==endP){ //找到终点
                    break;
                }
            }
        }

        if(pointFront.row+1<m && maze2d[pointFront.row+1][pointFront.col]==0){//下节点连通
            if(mark[pointFront.row+1][pointFront.col]==Point()){//下节点未被访问,满足条件,如队列
                mark[pointFront.row+1][pointFront.col]=pointFront;
                queuePoint.push(Point(pointFront.row+1,pointFront.col));    //入栈
                if(Point(pointFront.row+1,pointFront.col)==endP){ //找到终点
                    break;
                }
            }
        }

        if(pointFront.col-1>=0 && maze2d[pointFront.row][pointFront.col-1]==0){//左节点连通
            if(mark[pointFront.row][pointFront.col-1]==Point()){//上节点未被访问,满足条件,如队列
                mark[pointFront.row][pointFront.col-1]=pointFront;
                queuePoint.push(Point(pointFront.row,pointFront.col-1));    //入栈
                if(Point(pointFront.row,pointFront.col-1)==endP){ //找到终点
                    break;
                }
            }
        }
    }
    if(queuePoint.empty()==false){
        int row=endP.row;
        int col=endP.col;
        shortestPath.push_back(endP);
        while(!(mark[row][col]==startP)){
            shortestPath.push_back(mark[row][col]);
            row=mark[row][col].row;
            col=mark[row][col].col;
        }
        shortestPath.push_back(startP);
    }
}

int main(){
    Point startP(0,0);
    Point endP(4,4);
    vector<Point> vecPath;
    mazePath(maze,5,5,startP,endP,vecPath);

    if(vecPath.empty()==true)
        cout<<"no right path"<<endl;
    else{
        cout<<"shortest path:";
        for(auto i=vecPath.rbegin();i!=vecPath.rend();++i)
            printf("(%d,%d) ",i->row,i->col);
    }

    getchar();
}

程序输出:

代码的几点说明: (1)BFS求迷宫最短路径,记录每个节点的前驱节点使用了mark标记。可见,三种方法中mark标记可以根据实际需求灵活为其赋予意义。 (2)特殊的,起始节点的前驱设置为其本身。

小结

告诫。看着别人的代码去理解问题是如何求解的,对于求解算法题来说,这种方法是错误的。正确的步骤是看别人的思路,理解如何求解后,给出自己的实现,才能够真正的深刻的掌握该题的求解。经过自己思考的才能真正成为自己的东西。不然的话,看着别人的代码痛苦不说,而且每个人的实现在很多细节都不相同,即是花了很长时间,暂时弄明白了,我想过不了多久就会忘记。这样,得不偿失啊!


参考文献

[1]http://blog.csdn.net/a1259109679/article/details/48084951 [2]http://blog.csdn.net/bone_ace/article/details/41283585

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机会总是留给有准备的人 一 基本知识 1 python 解释下装饰器和生成器的作用以及用法 类的知识点,类与对象,三个输出 2 java HashMap的实现原...

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来自专栏mathor

LeetCode342. 4的幂

 这是上一道题2的幂的进阶,首先我们看和2的幂有什么不同。2的幂有1,2,4,8......,而4的幂有1,4,16,64,也就是说少了2,8,32......

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来自专栏小二的折腾日记

LeetCode-34-Search-for-a-Range

在一个排序的数组中找到出现这个值的起点和重点。很容易想到的是二分查找了。复杂度为nlog(n)。思路如下,先二分查找,找到下界,如果下界lo的值不等于targe...

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来自专栏landv

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来自专栏后端技术探索

(答案来了)两道腾讯面试题目

前天推送的文章《两道腾讯技术面试题(二面经历)》,收到了不少留言,感兴趣的可以去哪篇文章下查看精选留言,有一多半同学没有正确理解题目,可分享的留言寥寥无几,根据...

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来自专栏用户2442861的专栏

awk工作常用技巧

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来自专栏mathor

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来自专栏吴伟祥

认识XPath(确定XML文档中某部分位置的语言)

XPath即为XML路径语言(XML Path Language),它是一种用来确定XML文档中某部分位置的语言。

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来自专栏深度学习之tensorflow实战篇

python 对矩阵进行复制操作 np.repeat 与 np.tile区别

python 对矩阵进行复制操作 np.repeat 与 np.tile区别 二者区别 二者执行的是均是复制操作; np.repeat:复制的是多维数组的...

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