SVM（支持向量机）之Hinge Loss解释

SVM（支持向量机）之Hinge Loss解释

• Hinge Loss 解释

　　SVM 求解使通过建立二次规划原始问题，引入拉格朗日乘子法，然后转换成对偶的形式去求解，这是一种理论非常充实的解法。这里换一种角度来思考，在机器学习领域，一般的做法是经验风险最小化 ERM ，即构建假设函数为输入输出间的映射，然后采用损失函数来衡量模型的优劣。求得使损失最小化的模型即为最优的假设函数，采用不同的损失函数也会得到不同的机器学习算法，比如这里的主题 SVM 采用的是 Hinge Loss ，Logistic Regression 采用的则是负 loglog 损失，

L(Y,P(Y|X))=−logP(Y|X)L(Y,P(Y|X))=−log⁡P(Y|X)

　　从二项分布的角度来考虑 Logistic 回归： 

P(Y=1|X)P(Y=0|X)=11+e−θx=1−P(Y=1|X)P(Y=1|X)=11+e−θxP(Y=0|X)=1−P(Y=1|X)

　　这里另 z=θTxz=θTx ,  δδ 为 sigmod 映射，则： 

E(z)=−log(δ(z))E(z)=−log⁡(δ(z))

E(z)E(z) 的图形如下图的红色曲线，可见 zz 越接近 1 ， E(z)E(z) 的取值越小，即损失越小。反之另：

E(z)=1−log(δ(z))E(z)=1−log⁡(δ(z))

　　此时得到的图像应该为关于 E(z)E(z) 对称的红色的线（没画出），此时 zz 越接近 -1，E(z)E(z) 的取值越小，即损失越小。

注： 图中绿色的线为 square loss ，蓝色的线为 hinge loss， 红的的线为负 log 损失。

• 二分类问题

　　给定数据集  T={(xi,yi)}Ni=1T={(xi,yi)}i=1N ， 要用这些数据做一个线性分类器，即求得最优分离超平面 w⋅x+b=0w⋅x+b=0 来将样本分为正负两类，给定数据集后只需求得最优的参数  w,bw,b 即可，为了解决这个问题，首先做出如下线性映射函数 

y=w⋅x+by=w⋅x+b

　　根据经验风险最小化原则， 这里引入二分类的 Hinge Loss :

max(0,1−yi(w⋅xi+b))max(0,1−yi(w⋅xi+b))

　　上图中对应的 E(z)=max(0,1−z)E(z)=max(0,1−z) ，所以SVM可以通过直接最小化如下损失函数二求得最优的分离超平面：

minw,b∑i=1Nmax(0,1−yi(w⋅xi+b))+λ||w||2minw,b∑i=1Nmax(0,1−yi(w⋅xi+b))+λ||w||2

• 多分类问题

对于多分类问题，现在要用这些数据做一个 k 类的线性分类器 ,现在需要优化的参数变为 W,bW,b ， 此时的 W∈Rk×nW∈Rk×n，为一个k×nk×n 的矩阵，b∈Rkb∈Rk 为一个向量，现在的映射关系如下 ：s=Wxi+bs=Wxi+b，此时有 s∈Rks∈Rk  ，ss 中的每个分量代表分类器在该类别的得分，样本 xixi 的标签  yi∈Rkyi∈Rk , 这里若 xixi 属于类别 kk ，则 yiyi 中除了第 kk 个分量外其余元素全为 0 ，比如 5 分类问题， xixi  属于第 3 类，则有  yi=0,0,1,0,0yi=0,0,1,0,0  , 用 sjsj 表示得分向量 ss 中的第 jj 个分量 ， syisyi 表示对应 yi=1yi=1 的分量，则单个样本多分类的Hinge Loss可表示为：

∑j≠yimax(0,sj−syi+1)∑j≠yimax(0,sj−syi+1)

，

所以 kk 分类线性分类SVM 的 Hinge Loss表示为：

minW,b∑i=1N∑j≠yimax(0,sj−syi+1)+λ∑k∑nW2k,n