4. 高等数学——元素和极限

1.实数的定义

　　假设我们知道了整数的定义，像-3，1，17这些都属于整数Z。然后有理数则是两个整数相除q/p ，q，p属于Z，则是有理数Q。

　　什么是实数R呢？实数R代表横数轴上的所有数，如何定义实数呢？将实数定义为有理数+无理数？显然不可以，因为我们不知道还没有无理数的定义。

　　那要怎样定义实数呢？

　　戴德金 分划：

1.以有理数Q为全集，划分为A，B两个集合，使得 A∪B=Q，A∩B=∅，且只要a∈A，b∈B，则有a＜b

2.则划分切割点的数有三种情况，如图所示，这些切割点的数的集合，就是实数。

3.戴德金分划 的这种定义实数的方式，拥有稠密性（分无可分）和有序性（左小右大），符合数学对一个数集定义的要求。

单调有界序列存在极限（引理1）

2.实数元素的个数

1.整数、自然数、有理数，都是可列的，等势的，也就是元素的个数是相同的。

2.自然数少于实数（反证法）（有点绕额，感觉不是很重要的样纸）

3.无穷大比较

　左边的函数除以右边的函数极限等于0

4.极限的定义

5.极限的四则运算

1.极限相加

6.极限的复合

7.连续性

连续的几个函数叠加，有可能会成为阶跃的函数