囚犯B存活的概率（2）

随机王国的概率趣事

传说中,以前在一个偏远的地方,有一个王国,如世外桃源一般。该王国有一个非常独特的地方,王国的人民都喜欢赌博,而由赌博发展起来了与概率相关的知识。所以该王国又名“随机王国（Random Kingdom）。

每逢霜降时节，西风染遍山谷，一片画中有诗的景象，只是树叶开始飘零，提醒人们，这是秋决的时节，通常一年难有一个死囚，这一年却多达三个。

国王说，依据惯例，有三个及以上的死囚就可以释放一个。

凡大事必random，抽签定生死，而不是纠结一帮大声吼叫的群众来定夺。死囚们的代号分别是A,B,C。各自抽取一个号码，挂往墙上的钉子。

国王指着桌上的纸宣布，这张纸盖着放生的幸运号码，如果这张纸盖的号码和你们某个人抽取的号码一样，那么你就是幸运的，就可以被赦免。

抽签后囚犯B私下提出请求：

囚犯B：请陛下随机指出一个不幸者，不必透露幸运号码。

请注意，在囚犯B的请求中，国王随机指出的不幸者也有可能是B。

为了要确保随机性，国王私下将两个不幸者的代号写在铜板的两面，然后一掷，囚犯B紧张得满头大汗，希望铜板落地时不要显示B不幸。结果如他所愿，铜板显示的是C不幸，他松了一口气：啊哈！我的活下来机会从1/3上升到了1/2。

问：在这个场景里，囚犯B的机会真的变成了1/2了吗？

国王回答：是的。你担当了风险，赢了就有回报。自始至终你和囚犯A都处于相同的情况，所以两人的机会也一直相等。现在就剩两人了，所以机会都是1/2.

回到故事里，我们用数学工具再一次解释国王是对的，为了方便叙述，采用以下缩写：

• B代表“囚犯B是幸运者”事件。
• KA代表“国王说A不幸”事件。
• KB代表“国王说B不幸”事件。
• KC代表“国王说C不幸”事件。

一开始囚犯B活下来的机会是：P(B)=1/3.

并且，国王通过掷硬币随机选择：P(KA)=P(KB)=P(KC)=1/3.

当国王说出C不幸时，此时囚犯B活下来机会就是条件概率了，为：P(B |KC).

此时，我们还不知道P(BKC)等于多少，通过运用全概率法则可以计算出：

从囚犯B的角度看，KA和KC是两个对称的条件，它们对B事件的影响都是一样的，所以：

所以，我们需要计算的：

所以，囚犯B活下来的概率确实上升到了1/2.

666啊。。。

文章参考自：电子科技大学特聘讲座教授李硕彦教授《似是而非的概率》一书。

编辑：李德福

审核：潘议淳