囚犯B存活的概率(2)

随机王国的概率趣事

传说中,以前在一个偏远的地方,有一个王国,如世外桃源一般。该王国有一个非常独特的地方,王国的人民都喜欢赌博,而由赌博发展起来了与概率相关的知识。所以该王国又名“随机王国(Random Kingdom)。

每逢霜降时节,西风染遍山谷,一片画中有诗的景象,只是树叶开始飘零,提醒人们,这是秋决的时节,通常一年难有一个死囚,这一年却多达三个。

国王说,依据惯例,有三个及以上的死囚就可以释放一个

凡大事必random,抽签定生死,而不是纠结一帮大声吼叫的群众来定夺。死囚们的代号分别是A,B,C。各自抽取一个号码,挂往墙上的钉子。

国王指着桌上的纸宣布,这张纸盖着放生的幸运号码,如果这张纸盖的号码和你们某个人抽取的号码一样,那么你就是幸运的,就可以被赦免。

抽签后囚犯B私下提出请求:

囚犯B:请陛下随机指出一个不幸者,不必透露幸运号码。

请注意,在囚犯B的请求中,国王随机指出的不幸者也有可能是B。

为了要确保随机性,国王私下将两个不幸者的代号写在铜板的两面,然后一掷,囚犯B紧张得满头大汗,希望铜板落地时不要显示B不幸。结果如他所愿,铜板显示的是C不幸,他松了一口气:啊哈!我的活下来机会从1/3上升到了1/2。

问:在这个场景里,囚犯B的机会真的变成了1/2了吗?

国王回答:是的。你担当了风险,赢了就有回报。自始至终你和囚犯A都处于相同的情况,所以两人的机会也一直相等。现在就剩两人了,所以机会都是1/2.

回到故事里,我们用数学工具再一次解释国王是对的,为了方便叙述,采用以下缩写:

  • B代表“囚犯B是幸运者”事件。
  • KA代表“国王说A不幸”事件。
  • KB代表“国王说B不幸”事件。
  • KC代表“国王说C不幸”事件。

一开始囚犯B活下来的机会是:P(B)=1/3.

并且,国王通过掷硬币随机选择:P(KA)=P(KB)=P(KC)=1/3.

当国王说出C不幸时,此时囚犯B活下来机会就是条件概率了,为:P(B |KC).

此时,我们还不知道P(BKC)等于多少,通过运用全概率法则可以计算出:

从囚犯B的角度看,KA和KC是两个对称的条件,它们对B事件的影响都是一样的,所以:

所以,我们需要计算的:

所以,囚犯B活下来的概率确实上升到了1/2.

666啊。。。


文章参考自:电子科技大学特聘讲座教授李硕彦教授《似是而非的概率》一书。

编辑:李德福

审核:潘议淳

本文分享自微信公众号 - 斜述视角(defuli_diffper)

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原始发表时间:2018-04-22

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