囚犯B存活的概率（1）

随机王国的概率趣事

传说中,以前在一个偏远的地方,有一个王国,如世外桃源一般。该王国有一个非常独特的地方,王国的人民都喜欢赌博,而由赌博发展起来了与概率相关的知识。所以该王国又名“随机王国（Random Kingdom）。

每逢霜降时节，西风染遍山谷，一片画中有诗的景象，只是树叶开始飘零，提醒人们，这是秋决的时节，通常一年难有一个死囚，这一年却多达三个。

国王说，依据惯例，有三个及以上的死囚就可以释放一个。

凡大事必random，抽签定生死，而不是纠结一帮大声吼叫的群众来定夺。死囚们的代号分别是A,B,C。各自抽取一个号码，挂往墙上的钉子。

国王指着桌上的纸宣布，这张纸盖着放生的幸运号码，如果这张纸盖的号码和你们某个人抽取的号码一样，那么你就是幸运的，就可以被赦免。

抽签后囚犯B私下提出请求：陛下，在A和C之间，至少有一个是不幸的。请告诉草民A不幸或者告诉草民C不幸吧，不需透露幸运号码。

国王：兄长免礼（囚犯B是国王的哥哥），如果你不是幸运者，朕就指出另一个步行者，如果你是幸运者，朕就随机回答，是这个意思吗？

囚犯B直起身：是的，陛下。

国王：然而，这样的问题并帮不了你。

囚犯B：请陛下的仁慈满足草民的心愿吧。

国王：好吧，C不幸。

囚犯B：哈哈大笑，草民活下来的机会从1/3变成了1/2了。

国王：兄长糊涂了，你活下来的机会还是1/3，并没有变化。

问：囚犯B说的对还是国王说的对呢？

也就是说，囚犯B活下来的概率是1/3还是1/2呢？

解释：

国王是对的，囚犯B活下来的机会还是1/3，以下有两种解释：

解释1：

我们先来考虑这样一个场景。死囚的人数，现在有10002个人，幸运号码仍旧只有一个，每个人活下来的机会都是1/10002。

同样，他们还是抽签定生死，抽完签后，囚犯B向国王提出请求，请陛下指出，其他10001个人之中的10000个不幸者。

囚犯B心里想，只是问一句话，无论国王的回答指出哪10000个不幸者，都只剩下两个人，我的机会就会从1/10002，平白的大跃进到1/2。

我们凭经验就知道这种想法是自欺欺人，世上若有这种免费午餐，人人都能中彩票呢。

解释2：

这次我们使用精确的数学工具进行解答。在概率论中，B抽中了幸运号码的概率为1/3，我们使用数学符号表示为：P(B抽中了幸运号码)=1/3.

同样，还要用到一点点条件概率，譬如：

P(B的请求得到的回答是C不幸 | A抽中了幸运号码)=1

P(B的请求得到的回答是C不幸 | B抽中了幸运号码)=1/2

P(B的请求得到的回答是C不幸 | C抽中了幸运号码)=0

通常的条件概率里，条件是作为事件发生的前提，所以发生于较早之前，在我们本案例中囚犯B存活的概率是：

P(B抽中了幸运号码 | B的请求得到的回答是C不幸)

这个条件概率的时间顺序有点别扭，条件发生的时间反而晚于事件，这种颠倒时序的条件概率叫做后验概率，计算后验概率只需要中学程度的逻辑。学术上称之为：贝叶斯定律。

贝叶斯定律：

通过上方的贝叶斯定律，我们就可以计算本案例中的后验概率了：

P(B抽中了幸运号码 | B的请求得到的回答是C不幸) =

所以，通过数学工具，计算出囚犯B活下来的概率不变，还是1/3.

洗洗睡了。。。

文章参考自：电子科技大学特聘讲座教授李硕彦教授《似是而非的概率》一书。

编辑：李德福

审核：潘议淳