随机王国的概率趣事
传说中,以前在一个偏远的地方,有一个王国,如世外桃源一般。该王国有一个非常独特的地方,王国的人民都喜欢赌博,而由赌博发展起来了与概率相关的知识。所以该王国又名“随机王国(Random Kingdom)。
每逢霜降时节,西风染遍山谷,一片画中有诗的景象,只是树叶开始飘零,提醒人们,这是秋决的时节,通常一年难有一个死囚,这一年却多达三个。
国王说,依据惯例,有三个及以上的死囚就可以释放一个。
凡大事必random,抽签定生死,而不是纠结一帮大声吼叫的群众来定夺。死囚们的代号分别是A,B,C。各自抽取一个号码,挂往墙上的钉子。
国王指着桌上的纸宣布,这张纸盖着放生的幸运号码,如果这张纸盖的号码和你们某个人抽取的号码一样,那么你就是幸运的,就可以被赦免。
抽签后囚犯B私下提出请求:陛下,在A和C之间,至少有一个是不幸的。请告诉草民A不幸或者告诉草民C不幸吧,不需透露幸运号码。
国王:兄长免礼(囚犯B是国王的哥哥),如果你不是幸运者,朕就指出另一个步行者,如果你是幸运者,朕就随机回答,是这个意思吗?
囚犯B直起身:是的,陛下。
国王:然而,这样的问题并帮不了你。
囚犯B:请陛下的仁慈满足草民的心愿吧。
国王:好吧,C不幸。
囚犯B:哈哈大笑,草民活下来的机会从1/3变成了1/2了。
国王:兄长糊涂了,你活下来的机会还是1/3,并没有变化。
问:囚犯B说的对还是国王说的对呢?
也就是说,囚犯B活下来的概率是1/3还是1/2呢?
解释:
国王是对的,囚犯B活下来的机会还是1/3,以下有两种解释:
解释1:
我们先来考虑这样一个场景。死囚的人数,现在有10002个人,幸运号码仍旧只有一个,每个人活下来的机会都是1/10002。
同样,他们还是抽签定生死,抽完签后,囚犯B向国王提出请求,请陛下指出,其他10001个人之中的10000个不幸者。
囚犯B心里想,只是问一句话,无论国王的回答指出哪10000个不幸者,都只剩下两个人,我的机会就会从1/10002,平白的大跃进到1/2。
我们凭经验就知道这种想法是自欺欺人,世上若有这种免费午餐,人人都能中彩票呢。
解释2:
这次我们使用精确的数学工具进行解答。在概率论中,B抽中了幸运号码的概率为1/3,我们使用数学符号表示为:P(B抽中了幸运号码)=1/3.
同样,还要用到一点点条件概率,譬如:
P(B的请求得到的回答是C不幸 | A抽中了幸运号码)=1
P(B的请求得到的回答是C不幸 | B抽中了幸运号码)=1/2
P(B的请求得到的回答是C不幸 | C抽中了幸运号码)=0
通常的条件概率里,条件是作为事件发生的前提,所以发生于较早之前,在我们本案例中囚犯B存活的概率是:
P(B抽中了幸运号码 | B的请求得到的回答是C不幸)
这个条件概率的时间顺序有点别扭,条件发生的时间反而晚于事件,这种颠倒时序的条件概率叫做后验概率,计算后验概率只需要中学程度的逻辑。学术上称之为:贝叶斯定律。
贝叶斯定律:
通过上方的贝叶斯定律,我们就可以计算本案例中的后验概率了:
P(B抽中了幸运号码 | B的请求得到的回答是C不幸) =
所以,通过数学工具,计算出囚犯B活下来的概率不变,还是1/3.
洗洗睡了。。。
文章参考自:电子科技大学特聘讲座教授李硕彦教授《似是而非的概率》一书。
编辑:李德福
审核:潘议淳