最长上升子序列(LIS)算法

LIS定义

LIS(Longest Increasing Subsequence)最长上升子序列 一个数的序列bi,当b1 < b2 < … < bS的时候,我们称这个序列是上升的。

对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN),我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK),这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。 比如,对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8),有它的一些上升子序列,如(1, 7), (3, 4, 8)等等。

这些子序列中最长的长度是4,比如子序列(1, 3, 5, 8). 你的任务,就是对于给定的序列,求出最长上升子序列的长度。

两种做法

O(N^2)做法:dp动态规划

状态设计:dp[i]代表以a[i]结尾的LIS的长度 状态转移:dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1) (0<=j< i, a[j]< a[i]) 边界处理:dp[i]=1 (0<=j< n) 时间复杂度:O(N^2) 举例: 对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8),dp的变化过程如下

dp[i]

初始值

j=0

j=1

j=2

j=3

j=4

j=5

dp[0]

1

dp[1]

1

2

dp[2]

1

2

2

dp[3]

1

2

2

3

dp[4]

1

2

3

3

4

dp[5]

1

2

2

3

3

3

dp[6]

1

2

3

3

4

4

4

求完dp数组后,取其中的最大值就是LIS的长度。【注意答案不是dp[n-1],这个样例只是巧合】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXX=100000+5;
const int INF=INT_MAX;

int a[MAXX],dp[MAXX];
// a数组为数据,dp[i]表示以a[i]结尾的最长递增子序列长度

int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            cin>>a[i];
            dp[i]=1; // 初始化为1,长度最短为自身
        }
        int ans=1;
        for(int i=1; i<n; i++)//枚举子序列的终点
        {
            for(int j=0; j<i; j++)//从头向终点检查每一个元素
            {
                if(a[i]>a[j])
                {
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);  // 状态转移
                }
            }
            ans=max(ans,dp[i]);  // 比较每一个dp[i],最大值为答案
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

O(NlogN)做法:贪心+二分

a[i]表示第i个数据。 dp[i]表示表示长度为i+1的LIS结尾元素的最小值。 利用贪心的思想,对于一个上升子序列,显然当前最后一个元素越小,越有利于添加新的元素,这样LIS长度自然更长。

因此,我们只需要维护dp数组,其表示的就是长度为i+1的LIS结尾元素的最小值,保证每一位都是最小值,

这样子dp数组的长度就是LIS的长度。

dp数组具体维护过程同样举例讲解更为清晰。

同样对于序列 a(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8),dp的变化过程如下:

  • dp[0] = a[0] = 1,长度为1的LIS结尾元素的最小值自然没得挑,就是第一个数。 (dp = {1})
  • 对于a[1]=7,a[1]>dp[0],因此直接添加到dp尾,dp[1]=a[1]。(dp = {1, 7})
  • 对于a[2]=3,dp[0]< a[2]< dp[1],因此a[2]替换dp[1],令dp[1]=a[2],因为长度为2的LIS,结尾元素自然是3好过于7,因为越小这样有利于后续添加新元素。 (dp = {1, 3})
  • 对于a[3]=5,a[3]>dp[1],因此直接添加到dp尾,dp[2]=a[3]。 (dp = {1, 3, 5})
  • 对于a[4]=9,a[4]>dp[2],因此同样直接添加到dp尾,dp[3]=a[9]。 (dp = {1, 3, 5, 9})
  • 对于a[5]=4,dp[1]< a[5]< dp[2],因此a[5]替换值为5的dp[2],因此长度为3的LIS,结尾元素为4会比5好,越小越好嘛。(dp = {1, 3, 4, 9})
  • 对于a[6]=8,dp[2]< a[6]< dp[3],同理a[6]替换值为9的dp[3],道理你懂。 (dp = {1, 3, 5, 8})

ok,这样子dp数组就维护完毕,所求LIS长度就是dp数组长度4。

通过上述求解,可以发现dp数组是单调递增的,因此对于每一个a[i],先判断是否可以直接插入到dp数组尾部,即比较其与dp数组的最大值即最后一位;如果不可以,则找出dp中第一个大于等于a[i]的位置,用a[i]替换之。

这个过程可以利用二分查找,因此查找时间复杂度为O(logN),所以总的时间复杂度为O(NlogN)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXX=100000+5;
const int INF=INT_MAX;

int a[MAXX],dp[MAXX]; // a数组为数据,dp[i]表示长度为i+1的LIS结尾元素的最小值

int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            cin>>a[i];
            dp[i]=INF; // 初始化为无限大
        }
        int pos=0;    // 记录dp当前最后一位的下标
        dp[0]=a[0];   // dp[0]值显然为a[0]
        for(int i=1; i<n; i++)
        {
            if(a[i]>dp[pos])    // 若a[i]大于dp数组最大值,则直接添加
                dp[++pos] = a[i];
            else    // 否则找到dp中第一个大于等于a[i]的位置,用a[i]替换之。
                dp[lower_bound(dp,dp+pos+1,a[i])-dp]=a[i];  // 二分查找
        }
        cout<<pos+1<<endl;
    }
    return 0;
}

原文发布于微信公众号 - ACM算法日常(acm-clan)

原文发表时间:2018-08-10

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