（10.4）James Stewart Calculus 5th Edition：Areas and Lengths in Polar Coordinates

入题

极坐标系中的面积和长度 （这里看见 Coordinates ，就想到了 CoordiateLayout _ ） 我们简单要求一个圆的部分面积

由极坐标可以得到：

对应简单的推理过程：

这个时候，如果对应的 极坐标为曲线：

就会有 半径r 的函数

我们将对应的 θ ，分割成n份 对应第i份的面积为：

所以，所有面积的和为：

当n -> 无穷大 的时候，可以得到

即：

也就是：

例子1

这个函数的图像为：

根据上面的公式，有：

例子2

我们先看一下图像：

这个图像，是由 心形（10.3里面提到的 Cardioid图形） 和 圆形 组合而成 inside the circle and outside the cardioid 在圆内部， 在心形外面 我们可以先求对应的交叉角度 有 2sinθ = 1 + sinθ 可以得到 θ = π/6 和 5π/6 所以，对应的面积就为 在[π/6 , 5π/6]范围内， 圆形 - 心形

也就是

因为是关于y轴对称的，所有可以变成：

简单类型总结

这样的图像，都可以用

求得

例子3

对应的图像为：

我们简单由： cos2θ = 1/2 ， 可以求得：

也就是可以找到

根据图像，我们可以找到对应对称的点：

Arc Length 弧长

根据上面的

我们可以得到对应的参数方程：

对θ求微分，可以得到：

根据

可以得到：

所以：

即：

例子4

求这个心形的弧长，我们可以先看一下图像

根据公式，可以得到：

可以求得： L = 8

最近一直身体不适，拔罐也没用 不清楚为什么，真头大 虽然自己不过圣诞，但是一个好好的圣诞，就这样睡过去了，感觉也不太好 唠叨一下，感觉好多了.....