(8.3)James Stewart Calculus 5th Edition:Applications to Physics and Engineering


Applications to Physics and Engineering 应用物理和工程

一些扯淡的,略


Hydrostatic Pressure and Force 水压和力

一些表示: 体积 V:(底面积 x 深度)

质量m: (密度 x 体积 = 密度 x 底面积 x 深度)

所以,有:

对应的单位面积压力为:

例如: 水的密度为:

我们在2米深度的压力为:

流体压力重要原则:

any point in a liquid the pressure is the same in all directions 液体中任何点在任何方向收到的压力是相同的。


例子1

图2中,大坝收到的水的压力

应该就是每一段收到的压力的和:

根据图,我们可以得到简单的式子:

化简得到:

这个时候,我们可以知道 第i段,对应的水坝的宽度为:

纵切面积为:

对应的压力:

所以,第i层压力Fi 为:

最后,F为 所有力的求和:

(其实,个人觉得,坝的压力,不应该是这一面的.....)


Moments and Centers of Mass 瞬时和质量的中心

(这个moment自己也不知道怎么翻译....暂时就翻译为瞬时, 因为后面感觉对应的mass质量, 都表示的是 瞬时质量。 或者之前有瞬时速度) 一个平面,一般都会有一个中心点:

如果是一个rod杆子, 则会遵循 m1d1 = m2d2

也就是 阿基米德 发现的 杠杆定律

这个时候,如果对应的支点在x轴上 例如:

化简,可以得到:

这里,只是m1 和 m2 这2个点的重量 而这个rod杆子,是n个点的组合体 如果按n个点去计算,可以得到:

这里, m是所有点质量的和 如果 M 用下面表示:

则,上面的式子,可以写成:


上面只是 x轴方向的 因为只是一个rod杆子,也可以理解为 围绕y轴平衡(y轴系统)

如果是一个平面(例如这个图)

则需要考虑2个方向的平衡 也就是 y轴系统的瞬时质量, x轴(方向)瞬时质量 【y轴系统 就和 上面那个rod杆子一样, x轴系统,可以旋转90度理解】

这个时候, 如果对应的中心点为

则有:


例子3

这个时候,我们只通过 Mx My ,再去求即可:

总质量为:

分别求出中心点 坐标,

所以,对应的中心点为:

图像大体为:


其实,对应的平面上,会遵循一个 The symmetry principle 对称原则 也就是前面有说到的 如果在 一条线上,左右对称 如果在 一个平面上,需要在2个区域单独确认对应瞬时的和


假设在 区域R中(图a)

如果,我们把[a, b]区间, 分为 n 份(图b)

这个时候,对应 第i个小矩形, x的中点为:

对应的面积为:

对应的质量为:

我们先来看一下 y轴的系统(我们知道y轴系统,需要看x值) 所以

其实也很好理解, 和上面一样

这个时候,我们把所有y轴系统的瞬时值求和:

同理,我们可以看一下x轴系统(对应的质量都是一样的,只是 x值换成了f(x) ) 因为之前质量已经有了一个f(x) 这个时候,就会有一个 平方了

这个时候,我们把所有x轴系统的瞬时值求和:

而整个质量m为:

所以:

和上面表示一样,只是把分母用A表示了 一般可以表示为(分母的积分,其实就是面积A)


例子4

找出这个半径为r的半圆的质量中心位置

  • 由于半圆x轴方向是对称的,所以,质量的中心点的x值,肯定为x方向的中点,也就是 x=0
  • 容易知道 面积A 为 πr^2/2

公式

所以,我们有:

所以中心点为:


例子5

我们可以知道,对应 x是从 0 到 π/2, y是从 cosx 到 0 首先,我们可以求出面积A

再分别求出 x , y 方向的中点:

所以,质量中心点为:


两个函数组合成的中心点

同理,和上面的方式一样,分别在2个方向去找质量中心,可以得


例子6

可以知道大体图像为:

我们可以知道,它们的交点为(0,0) 和 (1,1) 首先,我们还是先求面积A

再分别求出 x , y 方向的中点:

所以,对应的中点为: (1/2 , 2/5)


Theorem of Pappus 冠毛定理...

大体也就是: 一个面 围绕 一条直线 旋转,形成一个体积V 这个时候, 那个面的面积为A, 旋转后对应面中心点移动的距离为d 则, V = Ad

简单证明

第6章,我们简单有一个公式

这个时候,如果是由2个函数组成的,则有

其实,这个时候化简后 就已经得到证明。

其中


例子7

我们得到上面的结论以后 就不用按原来的方式去求积分了 直接可以通过V = Ad 也就是

得到体积。

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