(10.1)James Stewart Calculus 5th Edition:Curves Defined by Parametric Equations


Curves Defined by Parametric Equations 曲线定义的参数方程

有的时候,有些曲线不符合 the Vertical Line Test 竖线检测 例如:

虽然不能写成 y = f(x) 但是,他们都是 时间 t 的 函数: 假如 x,y都是 第3个参数 t 的函数, 即: x = f(t) , y = g(t) 被叫做 parametric equations 参数方程

这个时候, 点(x,y)是平面坐标系的点。 P(x,y) = (f(t) , g(t)) 我们叫做: parametric curve 参数曲线。


例子1

我们可以先画表:

再描点,得到图像:

随着t的增加,可以得到对应的点 我们根据条件,可以得到等式:

即,双曲线

这里 t 是任何实数 有的时候,t 只是一个区间。例如

根据值,我们可以得到曲线

这里有 起始点, 终点

这里我们知道 起点为 (0,1) 终点为 (8,5)


例子2

我们简单化简,可以得到:

并且,很显然是一个圆圈 大体,也很好理解,从t = 0 , 到 t = 2π, 是一个逆时针的过程,图像大体为:


例子3

这里注意,虽然t的范围一样 但是,对应的起点,终点不一样了 这时候,2t 就是 2周 并且起点在 (0,1) 大致图像为:


例子4

很明显,我们可以得到对应x和y的等式


Graphing Devices 图像设备

用机器的东西,对应理论来说,是个实践的过程 但是,对于理论学习本身来说,没有太多意义 所以,自己贴下图就行


例子5

大体可以得到等式(画图,其实,输入就可以得到结果,也不用自己求)

最后,得到图像:


其他一些图像

对应的图像:


对应的图像:


The Cycloid 摆线

类似下图,P点的运动轨迹,叫做 Cycloid 摆线

这里对应的 OT 距离,也很好理解 长度 = 对应走过的弧长 也就是 半径 x 弧度

对于下图

我们可以得出:

对于坐标系的 P(x,y),有:

也就是:


Families of Parametric Curves 参数曲线的族

(之前感觉 数学书上,名词的翻译是一坨屎,现在感觉,的确也不好翻译,和沟通一样,所有的沟通都会有信息丢失) 比如,我们有等式

那么,对应的曲线一般会是什么样的? 当a变大的是很, 对应的形状会是怎么样的? 我们可以简单画出图像:

这里,我们发现一些简单的规律 (每个人可能找到的都不一样,自己也只是简单归纳一下)

  • a < -1的时候, 右侧比较平滑
  • a = -1 的时候, 右侧就开始变得尖起来
  • -1 < a < 0 的时候, 图像的右侧会有一部分图像
  • -1 < a < 0 ,a 越靠近 0,整体就越靠近 y = 0
  • a为 0 的时候, 图像是一个圆
  • 后面的对称理解即可

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