（10.1）James Stewart Calculus 5th Edition：Curves Defined by Parametric Equations

Curves Defined by Parametric Equations 曲线定义的参数方程

有的时候，有些曲线不符合 the Vertical Line Test 竖线检测 例如：

虽然不能写成 y = f(x) 但是，他们都是 时间 t 的 函数： 假如 x，y都是 第3个参数 t 的函数， 即： x = f（t） ， y = g（t） 被叫做 parametric equations 参数方程

这个时候， 点（x，y）是平面坐标系的点。 P（x，y） = （f（t） ， g（t）） 我们叫做： parametric curve 参数曲线。

例子1

我们可以先画表：

再描点，得到图像：

随着t的增加，可以得到对应的点 我们根据条件，可以得到等式：

即，双曲线

这里 t 是任何实数 有的时候，t 只是一个区间。例如

根据值，我们可以得到曲线

这里有 起始点， 终点

这里我们知道 起点为 （0，1） 终点为 （8，5）

例子2

我们简单化简，可以得到：

并且，很显然是一个圆圈 大体，也很好理解，从t = 0 ， 到 t = 2π， 是一个逆时针的过程，图像大体为：

例子3

这里注意，虽然t的范围一样 但是，对应的起点，终点不一样了 这时候，2t 就是 2周 并且起点在 （0，1） 大致图像为：

例子4

很明显，我们可以得到对应x和y的等式

Graphing Devices 图像设备

用机器的东西，对应理论来说，是个实践的过程 但是，对于理论学习本身来说，没有太多意义 所以，自己贴下图就行

例子5

大体可以得到等式（画图，其实，输入就可以得到结果，也不用自己求）

最后，得到图像：

其他一些图像

对应的图像：

对应的图像：

The Cycloid 摆线

类似下图，P点的运动轨迹，叫做 Cycloid 摆线

这里对应的 OT 距离，也很好理解 长度 = 对应走过的弧长 也就是 半径 x 弧度

对于下图

我们可以得出：

对于坐标系的 P（x，y），有：

也就是：

Families of Parametric Curves 参数曲线的族

（之前感觉 数学书上，名词的翻译是一坨屎，现在感觉，的确也不好翻译，和沟通一样，所有的沟通都会有信息丢失） 比如，我们有等式

那么，对应的曲线一般会是什么样的？ 当a变大的是很， 对应的形状会是怎么样的？ 我们可以简单画出图像：

这里，我们发现一些简单的规律 （每个人可能找到的都不一样，自己也只是简单归纳一下）

• a < -1的时候， 右侧比较平滑
• a = -1 的时候， 右侧就开始变得尖起来
• -1 < a < 0 的时候， 图像的右侧会有一部分图像
• -1 < a < 0 ，a 越靠近 0，整体就越靠近 y = 0
• a为 0 的时候， 图像是一个圆
• 后面的对称理解即可