表示曲线的参数等式。 对应的微积分在 参数曲线的应用。 通常解决问题会用
前面 自变量 和 因变量 之间的表达式,很好理解
这里 参数方程, 例如 x = f(t) 和 y = g(t) 的表达。 最后得到 y = F(x) 也就是: g(t) = F(f(t)) 【注意: 这里 g,F,f都是可微的】 通过链式原则,可以得到
如果
我们可以得到:
其实, 换一种写法,也就是:
(a) 因为过(3,0)
可以得到 t = 0, 或者 t = 正负根号3 (先简单这样写吧,哎) 这里x = 3, 也就是 t 为 正负根号3 在(3,0)有2个切线值, 我们可以得到
由 t 为 正负根号3 可以得到:
所以,2个切线为:
(b) 水平切线,也就是 斜率为 0
竖直切线,也就是
具体过程
【水平切线】,由
可以得到
并且这个时候,都满足:dx / dt ≠ 0 可以得到对应的点(1,2),(1,-2)
【竖直切线】,由 dx / dt = 2t = 0 可以得到 t = 0 这个时候,dy / dt ≠ 0 我们可以得到点(0,0)
(c) 我们求2次导数,有:
可以知道
(d) 自己就贴一下图,不是自己画....
对应的由 自变量,因变量 到 第3参数,其实就是一个转换的过程 都用t表示即可
我们先看下图3:
再由
和
我们可以把面积 A 化简为:
之前有,当曲线C连续,也就是 F 可导,有:
如果有:
这个时候,我们把自变量都变成t,有:
当
有:
具体证明,略
这里10.1的 Example2, 我们贴一下题目和图:
图:
这里,由:
我们可以表示对应的弧长:
如果 f' , g' 存在,并且连续, 还有 g(t) >= 0 我们有:
对应的球体,就是半圆旋转得到的: 有
所以,表面积为:
证毕