（10.2）James Stewart Calculus 5th Edition：Calculus with Parametric Curves

Calculus with Parametric Curves 参数曲线的微积分

表示曲线的参数等式。 对应的微积分在 参数曲线的应用。 通常解决问题会用

• Tangents 切线
• **area 面积 **
• arc length 弧长
• surface area 表面积

Tangents 切线

前面 自变量 和 因变量 之间的表达式，很好理解

这里 参数方程， 例如 x = f（t） 和 y = g（t） 的表达。 最后得到 y = F（x） 也就是： g（t） = F（f（t）） 【注意： 这里 g，F，f都是可微的】 通过链式原则，可以得到

如果

我们可以得到：

其实， 换一种写法，也就是：

例子1

（a） 因为过（3，0）

可以得到 t = 0， 或者 t = 正负根号3 （先简单这样写吧，哎） 这里x = 3， 也就是 t 为 正负根号3 在（3，0）有2个切线值， 我们可以得到

由 t 为 正负根号3 可以得到：

所以，2个切线为：

（b） 水平切线，也就是 斜率为 0

• dy / dx = 0，
• dy / dt = 0 , dx / dt ≠ 0

竖直切线，也就是

• dx / dt = 0
• dy / dt ≠ 0

具体过程

【水平切线】，由

可以得到

并且这个时候，都满足：dx / dt ≠ 0 可以得到对应的点（1，2），（1，-2）

【竖直切线】，由 dx / dt = 2t = 0 可以得到 t = 0 这个时候，dy / dt ≠ 0 我们可以得到点（0，0）

（c） 我们求2次导数，有：

可以知道

• t > 0 的时候， upward
• t < 0 的时候， downward

（d） 自己就贴一下图，不是自己画....

Areas 面积

对应的由 自变量，因变量 到 第3参数，其实就是一个转换的过程 都用t表示即可

例子3

我们先看下图3：

再由

和

我们可以把面积 A 化简为：

Arc Length 弧长

之前有，当曲线C连续，也就是 F 可导，有：

如果有：

这个时候，我们把自变量都变成t，有：

当

有：

具体证明，略

例子4

这里10.1的 Example2， 我们贴一下题目和图：

图：

这里，由：

我们可以表示对应的弧长：

Surface Area 表面积

如果 f' ， g' 存在，并且连续， 还有 g(t) >= 0 我们有：

例子6

对应的球体，就是半圆旋转得到的： 有

所以，表面积为：

证毕