（8.2）James Stewart Calculus 5th Edition：Area of a Surface of Revolution

Area of a Surface of Revolution 旋转曲面的面积

先看一下简单物体的面积：

circular cylinder圆柱的侧面表面积： 可以直观得到：

而对应的circular cone圆锥：

我们可以得到对应的角弧度为：

最后，可以得到侧面积为：

而这样的图像：

我们可以知道是 大圆锥 - 小圆锥：

由相似可得：

最后化简得：

【圆锥可以理解为： 上面半径为 0 的 组合体】

我们设 r = (r1 + r2) / 2， 可以得：

我们对比 圆柱体， 组合圆锥体 我们可以理解 对应平均半径 的一个 带 的面积

这个时候，如果我们切分成很多细小的部分：

对应的面积可以表示为：

上一节， 我们证明过，对应的弧线的长，有：

这个时候，面积可以表示为：

所以，对应的侧面积和为：

当 n -> ∞的是i好， 由黎曼求和 可以得到

所以

对应的面积为：

莱布尼兹积分写法为：

或者，我们按y去积分，可以写为：

如果我们表示 ds 为：

我们分别可以表示为：

或者

例子1

我们知道是一个圆的一段弧长，围绕x轴旋转360度得到的表面积。

根据上面的公式 先对x求导，得到：

带入式子，得：

例子2

这个抛物线，这段弧长，围绕y轴旋转得到的表面积。

先对x求导，可以得到：

带入公式，可以得到：

我们设

可以得到：

原式可以变成（对应的范围变化就不标注了）：