(7.7)James Stewart Calculus 5th Edition:Approximate Integration


Approximate Integration 近似积分

黎曼求和,我们把对应的[a, b]分成n份,每份大概为 Δx = (b - a)/n 这个时候,有:


我们可以用左边的顶点求和,为:

对应的图像为:

或者,我们用右边的顶点求和,为:

对应的图像为:


当我们用中点去求近似的时候,会比左边,右边要更好

Midpoint Rule 中点原则

原则定义:

Trapezoidal Rule 梯形原则

原则定义:

这里,我们可以通过

化简为上面的公式

例子

一些例子, 因为比较简单,只是应用,这里就截个图

例子1

这里分别用 梯形原则 , 中点原则 求值 n为5的时候,带入即可:

对应的图像为:

对应的 中点原则 求值,为:

对应的图像为:

我们通过积分,求得对应的真实值为:

这个时候,我们对比一下对应的error误差: (Et 表示 Trapezoidal Rule 梯形原则的误差, Em 表示 Midpoint Rule 中点原则的误差)

根据上面的值,我们可以得到,对应的值大约为:


例子1的地方, 我们用 L 表示左顶点求值, R表示右顶点求值, T表示梯形求值, M表示中点求值 我们可以得到对应n的时候,对应的值

根据上面的近似值,可以得到对应的相对误差E

我们可以通过表格发现,对应的 L, R, 没有 T 和 M相对误差小


Error Bounds 误差范围

对应的误差范围:

例子2

根据上面的公式,这里 根据

可以得到:

最后得到结果:

即:

所以, n = 41的时候, 可以满足对应的精度。

同理, 对 Midpoint Rule 中点原则 有:


例子3

(a)我们当 a = 0,b = 1,n = 10, 和 中点原则 可以有:

(b)我们可以得到

可以求得:

根据上面的公式,可以得到:


Simpson’s Rule 辛普森法则


例子4

简单套 Simpson’s Rule 辛普森法则 公式,


Error Bound for Simpson’s Rule

这里当2次翻倍的时候,也就是4次求导 可以得到对应的 辛普森法则, 求出 辛普森法则 的误差范围


例子6

这个时候,我们要对应的进度到达0.0001 我们先多次求导,可以得到:

这里因为自变量范围是在1和2之间,所以

根据上面的公司,有不等式:

有:

即:

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