找到 不定积分 很重要,但是很多时候 很难直接找到对应的 不定积分 比如说:
这个时候,如果我们设
那么
那么,这个时候,我们可以利用u来替换,得出结果
由 链式法则
我们可以得到:
如果这里,我们用 u = g(x) 去替换 则
或者 把 F' 写成 f,则
如果 u = g(x),则
最后转化为 du 和 dx 的运算
下面是一些例子
例子1
我们设
由
可以得到对应的替换
所以:
例子2
则
所以:
Paste_Image.png
则:
所以:
例子3
设
则
所以
例子4
设
则
所以:
例子5
设
则
有:
所以:
例子6
因为sinx 的 导数 为 cosx, 则可以想到
则:
所以:
对应的自然对数,可以化简成:
所以,可以推导出
定积分,也就是按不定积分变化,在带入值去计算值
同理,有
注意: 这里 自变量改变,对应范围也会改变 不定积分的上下限,由 [a, b] 变为了 [g(a), g(b)]
一些例子
例子7
设
有
这里对应的函数的连续可导的,但是,有定理6 需要注意: 自变量改变,对应范围也会改变 当x=0时, u=1; 当x=4时, u=9 所以
例子8
设
则
而,对应的范围 由x的[1, 2] 变为 [-2, -7] 所以:
例子9
设
则
而,对应的范围 由x的[1, e] 变为 [0, 1] 所以:
对应的图像为:
由前面的替换法则,可以有
我们可以把对应的过程,分为2部分:
设
对应的范围,由x的[0, -a] 变为 [0, a] 所以:
即:
这个时候,
则
则
一些例子
例子10
因为
是偶函数,有
所以:
例子11
因为
是奇函数,有
所以