(5.5)James Stewart Calculus 5th Edition:The Substitution Rule


The Substitution Rule 替换规则

找到 不定积分 很重要,但是很多时候 很难直接找到对应的 不定积分 比如说:

这个时候,如果我们设

那么

那么,这个时候,我们可以利用u来替换,得出结果


由 链式法则

我们可以得到:

如果这里,我们用 u = g(x) 去替换 则

或者 把 F' 写成 f,则


The Substitution Rule 替换法则

如果 u = g(x),则

最后转化为 du 和 dx 的运算


例子

下面是一些例子

例子1

我们设

可以得到对应的替换

所以:


例子2

  • 解法1 设

所以:

Paste_Image.png

  • 解法2 设

则:

所以:


例子3

所以


例子4

所以:


例子5

有:

所以:


例子6

因为sinx 的 导数 为 cosx, 则可以想到

则:

所以:

对应的自然对数,可以化简成:

所以,可以推导出

tan的不定积分

Definite Integrals 定积分

定积分,也就是按不定积分变化,在带入值去计算值

The Substitution Rule for Definite Integrals 定积分变化法则(定理6)

同理,有

注意: 这里 自变量改变,对应范围也会改变 不定积分的上下限,由 [a, b] 变为了 [g(a), g(b)]


例子

一些例子

例子7

这里对应的函数的连续可导的,但是,有定理6 需要注意: 自变量改变,对应范围也会改变 当x=0时, u=1; 当x=4时, u=9 所以


例子8

而,对应的范围 由x的[1, 2] 变为 [-2, -7] 所以:


例子9

而,对应的范围 由x的[1, e] 变为 [0, 1] 所以:

对应的图像为:


Symmetry 对称

由前面的替换法则,可以有


  • 证明:

我们可以把对应的过程,分为2部分:

对应的范围,由x的[0, -a] 变为 [0, a] 所以:

即:

这个时候,

  • 如果 f(x) 是 偶函数,有

  • 如果 f(x) 是 奇函数,有


例子

一些例子


例子10

因为

是偶函数,有

所以:


例子11

因为

是奇函数,有

所以

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