(5.4)James Stewart Calculus 5th Edition:Indefinite Integrals and the Net Change Theorem


Indefinite Integrals and the Net Change Theorem 不定积分 和 净变化理论

对应的反函数的理解,还是很重要的 这里先看一下没有上下限的积分


Indefinite Integrals 不定积分

这里只是用于表示和 微分 之间的关系的积分 可以作为 不定积分 记作:

例子: 比如

因为:

注意

  • 定积分:表示一个数
  • 不定积分:表示一个函数

Table of Indefinite Integrals 不定积分表

这里接受了一个约定,也就是当函数不连续的时候, 可以理解成对应连续有效部分的不定积分

例如: 我们可以写成

前面说过,这个函数不连续,只能写成

但是,在不定积分中 两个是相同的


例子

一些例子

例子1

我们可以单独求积分,再连接起来

当然, 我们还可以通过 微分 去验证

例子2

把它转化成见过的 微分的式子

例子3

这里,我们先求对应的不定积分,再带入值,即可

例子4

一样,我们先求对应的不定积分,再带入值,即可

例子4

同样求解


The Net Change Theorem 净值定理

也就是对应的变化量,对应净面积


例如:

我们可以理解成 从t1到t2,对应正方向displacement位移的净值 (也就是可以历程为,如果想反方向走,为负)

如果对应的图像为:

这里对应的displacement 位移 为:


而 | D | 可以理解成 distance距离

这里对应的 distance距离 为:

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