(4.10)James Stewart Calculus 5th Edition:Antiderivatives


Antiderivatives 不定积分(反导数)

如果在一个区间内 F'(x) = f(x), 则 这里 F 函数,叫做 不定积分(反导数 , anti 可以理解为 反的意思,也就是 反函数的意思)

例如, 如果 这里 f(x) = x^2, 可以得到 F(x) = x^3/3 我们可以通过图像,得到:

这一些函数的都是 y = x^3/3 + C (C为任意实数)


定理1

对应的不定积分的 通用写法为

对应的表格:


例子

例子2

首先,先简单化简一下

再根据公式,单独求每一项的积分:


定义: 微分方程

An equation that involves the derivatives of a function is called a differential equation 涉及到函数导数的方程,我们叫 微分方程


例子

例子3

首先,先简单化简一下

再根据公式,单独求每一项的积分:

由于 f(0) = -2

解对应的方程,可以得到:

代入到C中,可以得到对应的f:


例子4

求一次积分,可以得到:

再求一次,可以得到:

我们知道,f(0) = 4,f(1) = 1 带入,可以得到: f(0) = 0 + D = 4 f(1) = 1 + 1 - 2 + C + D = 1 可以求得: C = -3, D = 4 所以,最后的方程值,为:


The Geometry of Antiderivatives 不定积分的几何

其实,也就是简单理解,挺简单的,大体过一下即可 例子:

如果我们知道对应的函数图像,求对应的积分的图像,并且有 F(0)= 2

我们可以知道 F(x) 的斜率,就是 f(x), 大致可以得到:

  • f(1) = f(3) = 0
    • 这2个点,F(x)有局部最值
    • f(1) 过程中,先负后正,有最小值
    • f(3)过程中,先正后负, 有最大值
  • (0,1)上,f(x)为负值,并且增长
    • 我们知道,对应的斜率为负值,最后为0
    • 左上到右下, 坡度慢慢减小
  • (1,2)上,f(x)为正值,并且增长
    • 我们知道,对应的斜率为正值,最后为0
    • 左下到右上, 坡度慢慢变大
  • (2,3)上,f(x)为正值,并且减小
    • 我们知道,对应的斜率为正值,最后为0
    • 左下到右上, 坡度慢慢减小
  • (3,4)上,f(x)为负值,并且减小
    • 我们知道,对应的斜率为负值,最后为0
    • 左上到右下, 坡度慢慢增大
  • (4,x)上,f(x)为负值,并且增长
    • 我们知道,对应的斜率为负值,最后趋于0
    • 左上到右下, 坡度慢慢减小
  • 再 F(0)= 2

我们根据上面的简单分析,大体可以画出草图

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