（4.10）James Stewart Calculus 5th Edition：Antiderivatives

Antiderivatives 不定积分（反导数）

如果在一个区间内 F'(x) = f(x)， 则 这里 F 函数，叫做 不定积分（反导数 ， anti 可以理解为 反的意思，也就是 反函数的意思）

例如， 如果 这里 f(x) = x^2， 可以得到 F(x) = x^3/3 我们可以通过图像，得到：

这一些函数的都是 y = x^3/3 + C （C为任意实数）

定理1

对应的不定积分的 通用写法为

对应的表格：

例子

例子2

首先，先简单化简一下

再根据公式，单独求每一项的积分：

定义： 微分方程

An equation that involves the derivatives of a function is called a differential equation 涉及到函数导数的方程，我们叫 微分方程

例子

例子3

首先，先简单化简一下

再根据公式，单独求每一项的积分：

由于 f(0) = -2

解对应的方程，可以得到：

代入到C中，可以得到对应的f：

例子4

求一次积分，可以得到：

再求一次，可以得到：

我们知道，f(0) = 4，f(1) = 1 带入，可以得到： f(0) = 0 + D = 4 f(1) = 1 + 1 - 2 + C + D = 1 可以求得： C = -3， D = 4 所以，最后的方程值，为：

The Geometry of Antiderivatives 不定积分的几何

其实，也就是简单理解，挺简单的，大体过一下即可 例子：

如果我们知道对应的函数图像，求对应的积分的图像，并且有 F（0）= 2

我们可以知道 F(x) 的斜率，就是 f(x)， 大致可以得到：

• f(1) = f(3) = 0
  • 这2个点，F(x)有局部最值
  • f(1) 过程中，先负后正，有最小值
  • f(3)过程中，先正后负， 有最大值
• (0，1)上，f(x)为负值，并且增长
  • 我们知道，对应的斜率为负值，最后为0
  • 左上到右下， 坡度慢慢减小
• (1，2)上，f(x)为正值，并且增长
  • 我们知道，对应的斜率为正值，最后为0
  • 左下到右上， 坡度慢慢变大
• (2，3)上，f(x)为正值，并且减小
  • 我们知道，对应的斜率为正值，最后为0
  • 左下到右上， 坡度慢慢减小
• (3，4)上，f(x)为负值，并且减小
  • 我们知道，对应的斜率为负值，最后为0
  • 左上到右下， 坡度慢慢增大
• (4，x)上，f(x)为负值，并且增长
  • 我们知道，对应的斜率为负值，最后趋于0
  • 左上到右下， 坡度慢慢减小
• 再 F（0）= 2

我们根据上面的简单分析，大体可以画出草图