前往小程序,Get更优阅读体验!
立即前往
首页
学习
活动
专区
工具
TVP
发布
社区首页 >专栏 >(4.5)James Stewart Calculus 5th Edition:Summary of Curve Sketching

(4.5)James Stewart Calculus 5th Edition:Summary of Curve Sketching

作者头像
dodo_lihao
发布2018-09-12 10:45:07
7450
发布2018-09-12 10:45:07
举报
文章被收录于专栏:懒人开发

Summary of Curve Sketching

每种图像,都有它的特征,下面大体可以理解成:

Guidelines for Sketching a Curve 曲线草图指南

大体可以根据对应的清单。

  • (A)Domain, 定义域
    • 注意范围和特殊情况
  • (B)Intercepts, 截距
    • 注意x=0,和y=0 的两条线,和对应的值
  • (C)Symmetry, 对称
    • 奇函数
    • 偶函数
    • 周期函数
  • (D)Asymptotes, 渐近线
    • Horizontal Asymptotes 横向渐近线
    • Vertical Asymptotes 纵向渐近线
    • Slant Asymptotes 偏渐近线
  • (E)Intervals of Increase or Decrease, 区间递增,递减
    • 注意 f' ,对应的导数的正负
  • (F)Local Maximum and Minimum Values, 局部最大值,最小值
    • 注意 critical numbers 临界点 (f'(x) =0, 或者 不存在)
      • 如果 在临界点c上 f'(x) 先正再负, 则有 最大值
      • 如果 在临界点c上 f'(x) 先负再正, 则有 最小值
    • 特别注意:在点c的一阶求导 = 0, 二阶求导 >0, 或者 <0 的情况
      • 在临界点c上 f''(x) > 0 , 有局部最小值
      • 在临界点c上 f''(x) < 0 , 有局部最大值
  • (G)Concavity and Points of Inflection, 凹度 和 拐点
    • 如果一个区间一直 f''(x) > 0 , 则图像 凹向上
    • 如果一个区间一直 f''(x) < 0 , 则图像 凹向下
  • (H)Sketch the Curve, 画曲线
    • 注意上面提到的所有点和情况

例子:

对应的例子比较多,就过一下,熟悉一下:

例子1
  • (A)Domain, 定义域
  • (B)Intercepts, 截距 x和y的截距都为0
  • (C)Symmetry, 对称
    • 由 f(-x) = f(x), 知道是 偶函数, 关于y轴对称
  • (D)Asymptotes, 渐近线
  • 可以知道,有 水平渐近线 y = 2
  • (E)Intervals of Increase or Decrease, 区间递增,递减
  • 我们可以知道, 分母永远 > 0, 所以 在x!=+-1的时候,
  • (-∞, -1) 和 (-1, 0) 分别递增
  • (0,1) 和 (1, +∞) 分别递减
  • (F)Local Maximum and Minimum Values, 局部最大值,最小值
    • 有上面的导数结果,容易看出,只有 f(0) 这一个临界点
    • 并且, 拐点的导数值 是 从正到负, 所有 有局部最大值
  • (G)Concavity and Points of Inflection, 凹度 和 拐点
    • 求对应的二阶导数
    • 知道当 12x^2 + 4 > 0, 也就是 f''(x) >0, 对应的 x的范围为 | x | > 1
    • 可以得到,(-∞, -1)和(1, +∞)凹向上
    • 剩下的, (-1, 1) 凹向上
  • (H)Sketch the Curve, 画曲线
    • 通过前面的 A - D, 可以画出 Figure 8 的图像
    • 在Figure 8 的图像的基础上, 通过后面的 E - G, 可以画出 Figure 9 的图像

Slant Asymptotes 偏渐近线

其实,上面(D)Asymptotes, 渐近线 的第3个,也提到了 Slant Asymptotes 偏渐近线 这里我们给出定义:

大致图像为:

也就是, 对应的 x->∞ 的时候, 对应的f(x) 近似等于 mx+b 这里 y = mx+b 就叫做 Slant Asymptotes 偏渐近线


例子:
  • (A)Domain, 定义域
    • 定义域为R, (-∞, +∞)
  • (B)Intercepts, 截距
    • 截距都是0
  • (C)Symmetry, 对称
    • 由 f(-x) = - f(x), 知道是 奇函数, 关于原点对称
  • (D)Asymptotes, 渐近线
  • 通过计算,我们可以知道,是 Slant Asymptotes 偏渐近线
  • 对应的 偏渐近线的方程为 y = x
  • (E)Intervals of Increase or Decrease, 区间递增,递减
  • 根据图像,我们可以知道对应的 f'(x)>0, 所以,在R上递增
  • (F)Local Maximum and Minimum Values, 局部最大值,最小值
    • 虽然 f'(0) = 0, 但是, 没有改变符号,所以 没有最大值和最小值
  • (G)Concavity and Points of Inflection, 凹度 和 拐点
  • 通过结果,我们可以知道,x=0 和 x= +-根号3 可以使得 f''(x)为0
  • 通过下面的图表,我们可以知道对应的 凹向上CU, 凹向下CD
  • (H)Sketch the Curve, 画曲线
本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划,分享自作者个人站点/博客。
原始发表:2016.10.12 ,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自 作者个人站点/博客 前往查看

如有侵权,请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划  ,欢迎热爱写作的你一起参与!

评论
登录后参与评论
0 条评论
热度
最新
推荐阅读
目录
  • Summary of Curve Sketching
    • Guidelines for Sketching a Curve 曲线草图指南
    • 例子:
      • 例子1
      • Slant Asymptotes 偏渐近线
        • 例子:
        领券
        问题归档专栏文章快讯文章归档关键词归档开发者手册归档开发者手册 Section 归档