(4.4)James Stewart Calculus 5th Edition:Indeterminate Forms and L’Hospital’s Rule


Indeterminate Forms and L’Hospital’s Rule 不定式 和 洛必达法则

如果有一个函数

虽然在 x=1 的点,没有意义 但是, 对应的 趋近于 1的地方, 我们想知道对应的极限信息

这里 lnx 和 x-1 都是 当 x->1, 对应的值 都趋近于0

我们把这种, x->a的时候, f(x) 和 g(x) 都趋近于0 的形式,叫做 indeterminate form of type 0/0 也就是 ** 0比0型**

之前也接触过一些,例如:

这种,化简之后,可以得到结果

例如:

我们可以通过 几何图形 得出结果。

这里,我们会介绍较系统的解决办法 L’Hospital’s Rule 洛必达法则

介绍之前, 还有一种情况: x->a的时候, f(x) 和 g(x) 都趋近于 ∞ 的形式,叫做 indeterminate form of type ∞/∞ 也就是 ** ∞比∞型**


L’Hospital’s Rule 洛必达法则

洛必达法则 很好用, 可以把 ** 0比0型** 和 ** ∞比∞型** 直接转化成对应 导数的比 这样,求起来很方便 (注意, 这里分母的导数要不为0)


例子:

** 例子1 **

因为:

明显是 ** 0比0型** 我们可以用 洛必达法则


** 例子2 **

我们知道:

明显是 ** ∞比∞型** 我们可以用 洛必达法则

这个时候,还是 ** ∞比∞型** 我们再次用 洛必达法则


** 例子3 **

不解释了 明显是 ** ∞比∞型** 我们可以用 洛必达法则

这个时候,是 ** 0比0型** 我们再次用 洛必达法则


Indeterminate Products 不确定的时候

有的时候,会存在类似 ** 0比∞型的情况 需要自己转化一下 转化成 ** 0比0型 或者 ** ∞比∞型** 一般转换方式为:


例子:

** 例子6 **

这个明显是 ** 0比∞型** 用

可以求导,得出结果:


Indeterminate Differences 不确定的微分

有的时候 会出现 XXX - YYY 的情况 这个时候,也可以转换成 ** 0比0型** 或者 ** ∞比∞型**

例子

这个时候,把 XXX - YYY 的情况 转换成 ** 0比0型**


Indeterminate Powers 不确定的幂

一般的形式,大体有下面几种:

通常可以

可以得到:

(通常指数函数相关的,都可以化成e为底, 这里虽然是幂,但是幂也是变量,这里可以理解成 幂 和 指数 函数的结合)


例子:

例子 8

我们可以先取自然对数

根据 洛必达法则, 先求 自然对数的极限

再转换为,对应的e为底的原函数:

所以:


例子 9

一样,先转换:

再根据 洛必达法则, 求指数的极限

最后,求原函数

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