如果有一个函数
虽然在 x=1 的点,没有意义 但是, 对应的 趋近于 1的地方, 我们想知道对应的极限信息
这里 lnx 和 x-1 都是 当 x->1, 对应的值 都趋近于0
我们把这种, x->a的时候, f(x) 和 g(x) 都趋近于0 的形式,叫做 indeterminate form of type 0/0 也就是 ** 0比0型**
之前也接触过一些,例如:
这种,化简之后,可以得到结果
例如:
我们可以通过 几何图形 得出结果。
这里,我们会介绍较系统的解决办法 L’Hospital’s Rule 洛必达法则
介绍之前, 还有一种情况: x->a的时候, f(x) 和 g(x) 都趋近于 ∞ 的形式,叫做 indeterminate form of type ∞/∞ 也就是 ** ∞比∞型**
洛必达法则 很好用, 可以把 ** 0比0型** 和 ** ∞比∞型** 直接转化成对应 导数的比 这样,求起来很方便 (注意, 这里分母的导数要不为0)
** 例子1 **
因为:
明显是 ** 0比0型** 我们可以用 洛必达法则
** 例子2 **
我们知道:
明显是 ** ∞比∞型** 我们可以用 洛必达法则
这个时候,还是 ** ∞比∞型** 我们再次用 洛必达法则
** 例子3 **
不解释了 明显是 ** ∞比∞型** 我们可以用 洛必达法则
这个时候,是 ** 0比0型** 我们再次用 洛必达法则
有的时候,会存在类似 ** 0比∞型的情况 需要自己转化一下 转化成 ** 0比0型 或者 ** ∞比∞型** 一般转换方式为:
** 例子6 **
这个明显是 ** 0比∞型** 用
可以求导,得出结果:
有的时候 会出现 XXX - YYY 的情况 这个时候,也可以转换成 ** 0比0型** 或者 ** ∞比∞型**
这个时候,把 XXX - YYY 的情况 转换成 ** 0比0型**
一般的形式,大体有下面几种:
通常可以
有
可以得到:
(通常指数函数相关的,都可以化成e为底, 这里虽然是幂,但是幂也是变量,这里可以理解成 幂 和 指数 函数的结合)
例子 8
我们可以先取自然对数
根据 洛必达法则, 先求 自然对数的极限
再转换为,对应的e为底的原函数:
所以:
例子 9
一样,先转换:
再根据 洛必达法则, 求指数的极限
最后,求原函数