(3.6)James Stewart Calculus 5th Edition:Implicit Differentiation


Implicit Differentiation 隐函数微分

通常都是用 x去表示y 例如:

但是,有的时候,x和y的关系,比较隐蔽 或者看上去是一个等式

例如: x^2 + y^2 = 25 这个时候,我们知道 如果是函数, 用竖线检测, 需要把图像拆分

其实,不猜分,直接计算应该也可以,只是不能用函数的想法去理解了


例子1

(a) 因为x是自变量,所以同时对x微分

由链式法则,可以知道

所以,式子为:

可以得到:

(b) 因为求过 点(3,4) 的斜率 而斜率为

所以,可以知道 过 点(3,4) 的斜率 为 - 3/4 对应的方程为:


例子2

(a) 因为x是自变量,所以同时对x微分

化解后,为:

(b)

因为过 点(3,3)

可以得:

(c) 水平切线,大体猜测,应该在图这块:

水平切线,对应的斜率为 0 可以得到:

为0 可以得到:

带入到原式中,消元,可以得到:

计算得: x =0, 或者

所以,加上上面的 x=0, 对应有2个点,分别为:


Orthogonal Trajectories 双曲线的轨迹

2中双曲线:

对应的图像:

Paste_Image.png

我们求对应的微分:

另一种:

可以发现,对应的微分值 如果在同一个点的切线, 那么,它们互为 负导数 (互相垂直)


Derivatives of Inverse Trigonometric Functions 反三角函数的导数

这里先用 arcsin 函数举例, 这里 arcsin 其实,就是

也就是:

两边取导数,则有:

因为

的情况下,有 cos y >= 0

所以:

即:

Derivatives of Inverse Trigonometric Functions 反三角函数的导数

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